ГЛАВА II ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАСС

Одним из основных законов механики является закон сохранения масс. Это физический закон, справедливый для движений, происходящих со скоростями, незначительными по сравнению со скоростью света. В этой главе будут получены различные математические формы записи этого закона.

§ 1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МАСС

Рассмотрим в момент времени t некоторый объем жидкости т, ограниченный поверхностью 5. Обозначим через М массу жидкости в этом объеме. Частицы жидкости, находившиеся в момент t в объеме т, перемещаясь, заполнят в момент f объем т с массой М.

Предположим, что в процессе движения жидкости нет ни возникновения, ни исчезновения массы; тогда закон сохранения массы запишется в виде

М = М\ (1.1)

По определению плотности р масса в объеме dx равна dm = = pdx. Масса в объемах тих соответственно будет

M=\\\pdx, M==55JpdT. (1.2)

Закон сохранения массы примет вид

\\\9dx]\\pdx, (1.3)

555pdT = 0. (1.4)

Предположим, что в пространстве, заполненном движущейся жидкостью, имеются пространственно-распределенные источники.

Пусть в объем dx в течение промежутка времени dt за счет источников поступает масса жидкости dm = qdxdt. Здесь q имеет смысл поступающей за счет источников массы жидкости, отнесенной к единице объема и единице времени. Поэтому величину q можно назвать плотностью источников.

Масса жидкости, которая в момент t находилась в объеме т, будет изменяться во время движения. За время dt она получит

приращение Am = dt q dx. За конечный промежуток вре-

мени от t до f приращение массы будет равно Теперь можем записать

М==М + Ш. (1.6)

Подставляя (1.2) и (1.5) в (1.6), получаем

Равенство (1.7)-запись закона сохранения масс при наличии пространственно-распределенных источников для конечного объема и конечного промежутка времени.

Дадим интегральную запись закона (1.7) для бесконечно малого промежутка времени. Предположим f = t -\- At. Тогда (1.7) можно записать в виде

SS5pdx-ssSpdt=A/Sss,rfT. (1.8)

X X X

Поделив (1.8) на At и устремив к нулю, получим

4T\\\9d = \\\dx. (1.9)

Равенство (1.9)-запись закона сохранения масс для конечного объема для данного момента времени при наличии пространственно-распределенных источников.

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МАСС В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА (УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА)

Исходим из записи закона сохранения масс для конечного объема (1.9). Для выполнения дифференцирования воспользуемся полученной ранее формулой (15.6) гл. I, положив в ней Л = р:

Подставляя (2.1) в (1.9), получим

S S S [1 + (Р-) + W У + Р ) -q]dx = 0. (2.2)

Равенство (2.2) имеет место для любого объема т. Это возможно только в том случае, когда подынтегральная функция равна нулю. Таким образом, из (2.2) следует, что

Раскрывая в (2.3) производные от произведений и вводя обо-

dp

значение индивидуальной производной -j, получаем

-g- + pdivv = ?. (2.30

Равенство (2.3) есть дифференциальная форма записи закона сохранения массы в переменных Эйлера при наличии пространственно-распределенных источников с плотностью q.

Пусть жидкость несжимаема. Это означает, что плотность в движущейся частице не изменяется, т. е. индивидуальная производная от плотности по времени равна нулю. В переменных

Эйлера это записывается в виде 4? ~* Уравнение неразрывности (2.3) в случае несжимаемой жидкости примет вид

<7 dv dv dv, q

divv = . или + + = (2.4)

В дальнейшем чаще всего будут рассматриваться потоки, не содержащие источников.

Остановимся на рассмотрении уравнения неразрывности в случае, когда = 0. Уравнение неразрывности (2.3) в общем случае запишется в виде

1 + (Ptx) + {Ы + (р..) = 0. (2.5)

Вводя вектор pv с проекциями pVx, pVy, pVz, можно уравнение (2.5) переписать в виде

e- + div(pv) = 0. (2.50

Из (2.30 получаем наиболее часто употребляемую запись уравнения неразрывности

-f р div V = 0. (2.6)

Рассмотрим запись уравнения неразрывности для частных случаев.

1. Движение установившееся. В этом случае местная производная должна быть равна нулю, т. е. = 0. Уравнение неразрывности для установившегося движения

-(р.) + (р,) + (рг) = 0, или div(pv) = 0. (2.7)