2. Жидкость несжимаема. В этом случае ~ = 0. Из (2.6) следует

dVr dv dv,

-dT + -df + = divv = 0. (2.8)

3. Движение плоское. Движение называют плоским, если существует такая плоскость, что все частицы жидкости движутся параллельно этой плоскости, причем на любой прямой, перпендикулярной этой плоскости, гидродинамические величины имеют одно и то же значение. Принимая эту плоскость за плоскость {х,у), получим, что = О, а все гидродинамические величины будут зависеть только от х, у, t, и, следовательно, производные по z будут равны нулю.

Уравнение неразрывности для плоского движения

Если при этом движение установившееся, то

Для несжимаемой жидкости

dv dv

дх ду

4. Одномерное движение с плоской симметрией. Рассмотрим движение, при котором все частицы движутся параллельно некоторой прямой, причем все гидродинамические величины в каждой плоскости, перпендикулярной этой прямой, постоянны. Если эту прямую принять за ось X, то

при таком выборе системы координат Vy = Vz 0 и -=- =

0. Уравнение неразрывности в этом случае будет иметь вид

-lf+i,(p.j=o.

Кроме движения с так называемой плоской симметрией рассматривают и другие одномерные движения - с осевой симметрией, со сферической симметрией (например, точечный взрыв).

§ 3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА

Исходим из интегральной записи закона сохранения масс (1.9). От переменных х, у, z перейдем к переменным Лагранжа я, Ь, с, которые определяют положение частиц в момент времени

to ь соответствующем объеме то- Тогда (1.9) перепишется в виде

можно

Объем То не зависит от времени. Производную

внести под знак интеграла. В переменных Лагранжа индивидуальная производная вычисляется как частная производная, поэтому равенство (3.1) можно записать в виде

da db dc = 0. (3.2)

Из (3.2) в силу произвольности объема то будет следовать, что

Р{х, у, Z)

dt D (а, b, с) J

1 D (a, b. c)

D(x, y, z) dt D(a, b, c)

Уравнение (3.4)-уравнение неразрывности в Лагранжа в общем случае при наличии источников. Если q = 0, то

D (х, у, Z)

Г D (а, Ь. с).

= 0.

(3.3)

(3.4) переменных

(3.5)

Равенство (3.5) означает, что величина в квадратных скобках не зависит от лагранжевой переменной t, т. е.

D (X, у, Z) , D (х, у, Z) D(a. b,c) 9 D(a, b. с)

(3.6)

Равенство (3.6) - уравнение неразрывности в переменных Лагранжа при q = 0. Величины, стоящие слева в уравнении (3.6), вычислены в момент /, справа - в любой другой момент времени t. Если за момент f взять момент времени to, когда X = а, г/ = 6, 2 = с, т. е. когда декартовы координаты совпадают с координатами Лагранжа, то уравнение (3.6) запишется в виде

Р{х, у, г) /оуч

или подробнее

Здесь X, у, Z - функции координат Лагранжа а, й, с, t\ ро - плотность, вычисленная в момент to.

Если жидкость несжимаема, то р = р, и уравнение неразрывности, как следует из (3.6) и (3.7), может быть записано в виде

D (х, у, Z) D (х, у, г) Р{х. у, z) D (а, Ь,с) D (а, Ь, с)

D (а, Ь, с)

= 1.

(3.8) 43

То, что якобиан сохраняет постоянное значение, равное единице, означает, что объем не изменяется по величине, хотя и может деформироваться.

В случае плоского движения, принимая плоскость движения за плоскость (х, у), можем написать

х = х{а, Ь, t), у = у{а, Ь, t), z = c.

При этом

Р{х, у, Z) Р(х, у) D (а, Ь, с) D (а, Ъ)

и уравнение неразрывности запишется в виде

Р(х,у) , Р{х,у) Р{х,у)

Р Р(а,Ь) -Р Р(а,Ь) Р Щ-Ро-

В случае одномерного движения, когда х = х{а, t), у = с\, Z = Са, уравнение неразрывности будет иметь вид

дх , дх дх

Р-5Г = Р 1 РЖ = Р -

Укажем на связь между уравнениями неразрывности, записанными в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.

Уравнение неразрывности (3.7) в переменных Лагранжа умножим на бто = dadbdc. Получим

р 6т = ро бто.

Здесь 5т = д 1 dadbdc - элемент объема, в который в

момент времени t переходит элемент объема бто. Последнее равенство можно переписать так:

4-(рбт) = о, -e-6T-fр-(бт)=о.

Отсюда 5? + P (6f) = 0- Но ранее было показано, что

Таким образом, получаем уравнение неразрывности в переменных Эйлера.

§ 4. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Для получения уравнения неразрывности в произвольных криволинейных ортогональных координатах поступим следующим образом. Пусть q2, дз - криволинейные ортогональные координаты и пусть связь между qi, q, q и декартовыми координатами X, у, Z задается соотношениями

x = x{qi, qb qs), У = У {Яь q, Яз), г = z [qu q-i, qs)- (4.1)