Подставляя (4.19) в (4.18), получим уравнение неразрывности в виде

t + irhu (--з) + (2Я.Яз) + (.зЯ.Я)] = д.

(4.20)

Сравнивая уравнение (4.20) с уравнением неразрывности, записанным в инвариантной форме (2.6), заметим, что в криволинейных координатах

= Tuhh [l?7 (з) + (2Я,Яз) + (.3Я.Я2)

(4.21)

ГЛАВА III

ЗАКОН КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Закон количества движения для системы материальных точек устанавливает связь между изменением количества движения и силами, которые вызывают это изменение. При рассмотрении движения жидкости в отличие от движения системы материальных точек приходится иметь дело с силами, непрерывно распределенными по объему или по поверхности.

§ I СИЛЫ МАССОВЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ

Силы, приложенные к частицам жидкости, можно разделить на два класса.

Массовые силы - силы, действующие на каждый элемент объема независимо от того, имеются ли рядом другие части жидкости. Пусть Р* - главный вектор сил, действующих на массу М жидкости, заполняющей объем т. Средней массовой

силой, действующей на массу М, называют величину Fcp =. Вектор

F = limFep = lim- (1.1)

называется массовой силой, действующей в данной точке. Точнее называть вектор F массовой силой, отнесенной к единице массы (в случае сил тяжести F = g).

Обычно сила F известна как функция координат точек пространства и времени F= F{x,y,z, t). Если сила F известна во всех точках выделенного объема т, то можно подсчитать главный вектор F сил, действующих на массу жидкости в этом объеме. На объем dx с массой dm = pdx действует сила ¥dm = = Fpdx. Отсюда главный вектор массовых сил будет

Fi=JJJpFdT. (1.2)

Поверхностные силы. Пусть объем т ограничен поверхностью S. Жидкость, находящаяся вне объема т, действует через поверхность S на жидкость внутри т. Силы, с которыми частицы жидкости, находящиеся снаружи поверхности S, действуют на поверхностные частицы объема т, называют поверхностными.

Выделим на 5 элемент поверхности AS с нормалью п. Главный вектор поверхностных сил, действующих на AS, обозначим AF. Среднее напряжение, действующее на площадку AS,

будет п=-- Пусть площадка AS стягивается в точку. Вектор

т = lim тр= lim (1.3)

называют напряжением поверхностных сил, действующим в рассматриваемой точке (вектором поверхностной силы, отнесенным к единице площади). Вектор Тп зависит от координат точки, времени и положения площадки (т. е. от направления нормали п). Из (1.3) следует, что на элемент поверхности dS действует сила XndS. Главный вектор поверхностных сил, действующих на поверхность S:

FS=5jT rfS. (1.4)

Поверхностные силы описывают взаимодействие между различными областями жидкости.

§ 2. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Выделим в движущейся жидкости некоторый объем т, ограниченный поверхностью S. Пусть вектор К - количество движения массы жидкости, заполняющей этот объем. В элементарном объеме dt заключена масса pdx. Количество движения этой массы, имеющей скорость v:

ДК = pv dr.

Количество движения массы, заключенной в объеме х:

K==\\\pvdx. (2.1)

Для выделенной массы жидкости вектор К, как и объем т, - функции времени.

Закон количества двил<ения можно сформулировать так: производная по времени от количества движения некоторой системы масс равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему. Следовательно,

= рл + р5. (2.2)

Подставляя в (2.2) выражения (1.2) и (1.4) для главных векторов массовых F* и поверхностных F сил и выражение (2.1) для К, получаем запись закона количества движения в виде

dt 50