ГЛАВА IV

ЗАКОН МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Для механической системы закон момента количества движения формулировался так: производная по времени от полного момента количества движения некоторой системы равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему. Получим запись этого закона для случая движения сплошной среды.

§ 1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим массу сплошной среды М; пусть в данный момент она занимает объем т, ограниченный поверхностью S. Эта масса обладает количеством движения К и моментом количества движения L. Элемент объема dx содержит массу dm = = pdx, количество движения которой равно pvdx. Момент количества движения этой массы относительно начала координат равен (rXpv)dT. Этот момент связан с поступательным движением и часто называется орбитальным моментом. Для области т

Lop6=SSS(rXpv)dT. (1.1)

У большинства жидкостей полный момент количества движения совпадает с орбитальным.

Однако так бывает не всегда. Жидкость имеет молекулярное строение, и состояние жидкости связано с движением молекул и их взаимодействием. Столкновения молекул (атомов) между собой приводят к их вращению. Вращение каждой молекулы можно охарактеризовать вектором внутреннего момента количества движения. В обычных условиях в силу хаотичности движения сумма внутренних моментов количества движения равна нулю. В тех же случаях (например, при наличии магнитных или других сильных полей), когда распределение этих моментов не изотропное, суммарный внутренний момент оказывается отличным от нуля. В связи с этим при рассмотрении макроскопического движения частиц необходимо вводить вектор внутреннего момента. Полный момент количества движения частицы складывается из орбитального момента г X dmv, связанного с движением частицы, как целого, и внутреннего момента количества движения, представляющего собой суммарный момент вращений молекул. Обозначим через М внутренний момент количества движения, которым обладает единица массы жидкости М = = М(г, О- Масса dm = pdx будет обладать моментом Mpdx. Для массы в объеме т получим

L.h-JJjMpdT. (1.2)

Полный момент количества движения массы равен

L=555[(rXpv) + pM]dT. (1-3)

Изменение полного момента количества движения связано с наличием моментов, поролсдаемых силовыми полями - полем массовых и поверхностных сил, наличием объемно-распределенных источников внутреннего момента и потока внутреннего момента через поверхность. Введем необходимые определения и запишем выражения для моментов внешних сил и внутренних моментов.

На элемент dx с массой dm действует сила pFdt. Орбитальный момент этой силы {гХрР)йт. Главный орбитальный момент массовых сил равен

Mo=555(rXpF)rfT. (1.4)

На элемент поверхности dS с нормалью п действует поверхностная сила XndS. Главный орбитальный момент поверхностных сил

M5 = 55(rXt )dS. (1.5)

Пусть за время dt в объеме dx порождается момент pWdxdt, где П - момент, отнесенный к единице массы и единице времени. Обозначая через Мо** Л приращение за то же время внутреннего момента в объеме т, получим для Мо выражение

Mo =55JpndT. (1.6)

Через элемент поверхности с нормалью п в течение времени dt проникает момент nndSdt. Здесь Лп - плотность потока (проникновения) внутреннего момента. Обозначая через Nildt поток за время dt внутреннего момента через поверхность S, получаем

M =55n rfS. (1.7)

Производная по времени от полного момента количества движения L равна сумме перечисленных четырех моментов. Таким образом. Закон момента количества движения запишется в виде

= Мо + М5 + МГ + МГ, (1.8)

или с учетом выражений (1.3) - (1.7) -SSS[(rXpv) + pM] dT=555(rXpF) dx +

+ 5 5 5 рП cfT + 5 5 (г X о dS + 5 5 я dS. (1.9)

x S S

Рассмотрим левую часть равенства (1.9). Воспользуемся формулой (15.7) гл. I, положив в ней Л = гХру, и преобразуем первое слагаемое (1.9):

Выпишем подынтегральное выражение

(rXpv) + (rXpv)divv = -Xpv + rXp47 +

+ rXv-f- + (rXpv)divv = rXp47- +

+ ( Xv)(4?- + pdivv). (1.11)

Будем предполагать, что в области, занятой жидкостью, нет источников массы ( = 0). Тогда в силу уравнения неразрывности (2.6) гл. II второе слагаемое в правой части (1.11) обращается в нуль. Производная с учетом выражения (1.11) запишется в виде

Интеграл в (1.12) можно трактовать как момент сил инерции, взятый с обратным знаком. Аналогичные преобразования

выражения для дадут

= 55S[4(pM) + pMdivv]dT =

-SH[P + (l + Hivv)]<i=SSSp x. (U3,

Таким образом, учитывая (1.3), (1.12) и (1.13), получаем