Закон момента количества движения (1.9) с учетом (1.14) можно переписать в виде

+ SS5pnrfT+ 55(rXT )dS+ 5Jn dS. (1.15)

x S S

Преобразуем интегралы по поверхности к интегралам по объему. Воспользуемся формулой Коши для тп-

5 (г X t ) rfS = 5 5 [(г X t J cos iCx) + (r X ty) cos iCy) +

+ (rXT,)cos(n,2)] dS = = SSS[l(-Xt.) + (rXt,) + (rXt.)

г dtx . dXu

dxzl

dx +

4-SSS[iXT, + jXT, + kXTjdT. (1.16)

Подставим (1.16) в (1.15) и сгруппируем некоторые слагаемые: dM . ггг . .Г dv dXx dXa dxl

-\]\[iXrx-i-iXry + kXrz]dx-\\pndx=\\iz,dS. (1.17)

x x S

Второе слагаемое слева равно нулю в силу закона количества движения. Окончательно закон момента количества движения в интегральной форме запишется в виде

JJJprfT-JJJiiX-r. + jXT. + kXTjdT-

-\\\рП dx=\\n,dS. (1.18)

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим функцию ял(г, ). Применяя закон сохранения моментов к тетраэдру и действуя так же, как и при выводе формулы Коши, получим аналогичную связь между зт , Ях, Лу, Лг-

я = Ях cos ( , л:) -f cos ( , у) -f cos (п, г).

(2.1)

Поток внутреннего момента будет полностью определен, если задана таблица составляющих псевдовекторов лх, Лу, Лг

хх ху xz ух уу yz

Таблица л<* - аффинный ортогональный псевдотензор второго ранга.

Преобразуем поверхностный интеграл, входящий в (1.18), к объемному, используя формулу (2.1):

я dS = [Яд. cos {п, х) + Пу cos {п, у) + cos (п, г)] dS =

Ш дЯх дЛи 5я, . + -57 + -dfj- (2-2)

С учетом (2.2) закон момента количества движения (1.18) в интегральной форме запишется в виде

г йЖ

- рП - (i X + j X + к X t,) -

дЛх дх

дЯу

дП,-\

дг J

dT = 0.

Так как объем т произволен, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю. Отсюда

dЖ дЛх дЯи дя,

p-pn---- = iXt. + ]xt, + kxt,. (2.3)

Равенство (2.3) - дифференциальная запись закона момента количества движения. Из (2.3) следует, что существует следующая связь между законом сохранения момента и симметричностью тензора напряжений.

1. Если жидкость без внутреннего момента количества движения, т. е. М = О, поле таково, что внутренний момент не возникает в объеме, т. е. П = О и л,* = О, то, как следует из (2.3):

iXT, + jXT, + kXT, = 0.

В развернутом виде это равенство дает

(.-ху - ух) к -f {Xzx - -xz) j + (Тг/г - -zy) = 0.

Из этого равенства следует симметрия тензора напряжений, т. е.

ху - ух> zx - xz< yz~zy (2.4)

2. Если среда такова, что тензор напряжений у нее симметричен, то закон момента количества движения приобретает вид

dM дЯх дя дя, Р = рП + - + - + . (2.5)

Физически это означает, что в жидкости действуют два независимых закона: закон сохранения орбитального момента и закон сохранения внутреннего момента, причем закон сохранения орбитального момента является следствием закона сохранения количества движения.