называется индивидуальной производной. Обозначим эту производную Ли- Рассмотрим, как вычисляется Ли в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.

а) Пусть Л - функция переменных Эйлера. Для фиксированной частицы координаты в соответствии с законом ее движения будут функциями времени

x = xit), y = y{t), zz{t). (3.1)

Поэтому

A{t) = A[x{t),y{t),z{t\t]; (3.2)

дА dx . дА dy , дА dz . дА ,

- dtdy dt dz dt dt

Ho (3.1) есть уравнения движения частицы, следовательно,

dx du dz in .\

итсюда

я дА , дА , дА . дА , е\

Ли = -з +1 . + -4- f,. (3.5)

Часто для индивидуальной производной в переменных Эйле-

dA DA

pa используются обозначения -j, . В дальнейшем мы примем обозначение-. Таким образом,

dA дА , дА . дА . дА ,

б) Пусть Л - функция переменных Лагранжа: Л = Л(а,й, c,t). Для выделенной частицы аргументы а, Ь, с фиксированы, изменяется только время. Поэтому

Х = 4г- (3.7)

Местная производная. Пусть в пространстве зафиксирована некоторая точка. Через эту точку в разные моменты времени будут проходить разные частицы. Каждой из них соответствует некоторая гидродинамическая величина А. В фиксированной точке пространства

Л = Л (О. (3.8)

Изменение величины Л в фиксированной точке пространства характеризуется производной А по времени, которая называется местной (локальной) производной по времени Лм-

а) Пусть А - функция переменных Эйлера, т. е. Л = - Aix,y,z,t). Так как х, у, z фиксированы, то местная производная есть частная производная

л:=--. (3.9)

б) Пусть А - функция переменных Лагранжа: Л=А{а,Ь, c,t). В разные моменты времени через фиксированную точку Л1 пространства проходят разные частицы с разными значениями а, Ь, с. Но так как в каждый момент времени в точке М оказывается одна частица, то можно записать

a = a{t), b = b{t), c = c{t).

Таким образом, для фиксированной точки пространства

Л = Л[а(0, b{t), с (О, t]

л - iA. i -ЁА. db .dAdc.dA , ,

да dt дЬ dt дс dt dt

Эта формула приобретает значение, если известны производные ж 4f Ж Вычислим их. Так как движение задано в переменных Лагранжа, то известна связь (1.1). Дифференцируя по t обе части (1.1) и учитывая, что х, у, г фиксированы, получим

Система (3.11)-система трех линейных уравнений относительно производных Якобиан системы не равен нулю.

Решая систему (3.11) относительно и подстав-

ляя эти решения в (3.10), приходим к формуле для местной производной

D (А, X, у, 2) л - а, Ь, с) ,

D (X, у, Z)

D {а, 6, с)

% 4. УСТАНОВИВШЕЕСЯ И НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЯ

Течение жидкости называется установившимся, или стационарным, если в каждой фиксированной точке пространства, принадлежащей области движения, все гидродинамические величины не зависят от времени. Это означает, что если А - некоторая величина, характеризующая движение, то местная производная Лм = 0.

В переменных Эйлера Лм =

дА dt

Т. е.

= 0, А = А{х, у, г).

в переменных Лагранжа для местной производной имеем формулу (3.12). Так как Л О, то признаком установившегося движения в переменных Лагранжа должно быть равенство

D {А, X, у, z) п л л / \

D(t, a,b,c) так ЧТО A = A{x,y,z).

Если гидродинамические величины во всем пространстве, занятом жидкостью, или в какой-либо части его изменяются с течением времени, то движение называется неустановившимся, или нестационарным. Заметим, что при переходе от одной системы координат к другой установившееся движение может перейти в неустановившееся, и наоборот.

§ 5. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ

Скорость частицы является индивидуальной производной от радиус-вектора по времени, ускорение - индивидуальной производной от вектора скорости по времени, т. е.

v=r;, w=<=r;.

Если задача о движении жидкости решается в переменных Эйлера, то

f X = Vx (Х, у, Z, t), Vy = Vy (х, у, Z, t), = {x, у, z, t). Ускорение можно вычислить, используя формулу (3.6):

В проекциях на оси

dvx dvx

dt ~ dt дх У ду дг dvu dvu dvu dvu dvn

dvz dvz , dvz , dvz , dvz

Если задача решается в переменных Лагранжа, то

х = х {а, Ь, с, t), y = y{a,b,c,t), z = z{a,b,c,t) (5.2)

- искомые функции. Если они найдены, то скорость и ускорение легко вычислить. Согласно определению (см. (3.7))

дг дх ду дг