поглощенная за время dt конечным объемом т, будет AQoe = = dt еdr.Энергия, поступившая в объем т за время от ii до

t2, будет

Qo6=\ dt\\\Bdx. (3.5)

Поток тепла через поверхность. Через поверхность S, ограничивающую объем жидкости т, тепло извне вследствие теплопроводности может проходить внутрь нашего объема. Количество т пла, проникающее в объем через элемент поверхности dS с нормалью п за время dt, равно tndsdt. Величина tr, есть так называемая плотность потока энергии, тепловой поток, отнесенный к единице площади и единице времени. Количество тепла, прошедшее за dt через всю поверхность S,

AQ = dttndS. За время от ti до /2 в объем т через поверх-

ность S проникнет количество тепла

QsiyWtndS. (3.6)

Подставляя (3.2) - (3.6) в (3.1), получаем интегральную запись закона сохранения энергии для конечного промежутка времени:

= SAySp(F-v) dx+\yt\\{r,-v) dS +

Разделим обе части равенства на разность /2 - 1 и, устремив t2 - ti к нулю, получим еще одну запись закона сохранения энергии

+ SSSedT+55/ dS. (3.8)

Таким образом, скорость изменения полной энергии некоторой массы жидкости равна сумме мощности, развиваемой объемными и поверхностными силами, скорости объемного поступления энергии и потока энергии через поверхность.

§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ЗАПИСИ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

В дальнейшем будем предполагать, что нет источников массы, т. е. уравнение неразрывности имеет вид (2.6) гл. II. Левую часть равенства (3.8), используя (15.7) гл. I, можно преобразовать:

-Ш[Ч4+)+р(4+) ]л=.

=sm(i+Mivv)(4+E)+pi(+£)]

dx =

dv , dE + P

dx. (4.1)

dt dt

Используя формулу Коши для Хп в интеграле т V dS,

перейдем от интеграла по поверхности к интегралу по объему:

(t (т V) d5 = ( J [(Т;, v) cos (fCx) + {гу v) cos (ny) + s s

+ {r,.v)cosiz)]dS =

Подставляя (4.1) и (4.2) в (3.8), получаем

Ш[ dE , dv

p(F-v)--(T,.v)

dx==\t,dS. (4.3)

Равенство (4.3) - одна из форм записи закона сохранения энергии в интегральном виде. Выражение в левой части (4.3) можно упростить. В главе III была получена запись закона количества движения в виде (5.6). Умножив скалярно обе части (5.6) на V и перенеся все слагаемые в одну сторону, получим

dv It

- pF V - V

дХг дг

= 0.

(4.4) 67

Левая часть (4.4) содержит группу слагаемых, входящих в (4.3). Так как их сумма равна нулю, уравнение (4.3) примет вид

Ш---Ь-Г..-г] .\\ иЗ. (4.5)

Равенство (4.5) есть общая запись закона сохранения энергии в интегральном виде.

§ 5. ВЕКТОР ПОТОКА ТЕПЛА

Получим формулу для потока тепла t,i. Рассмотрим тетраэдр (см. рис. 6), три грани которого параллельны координатным плоскостям. Введем те же обозначения, что и при выводе формулы Коши: 5, Sy, 5г -площади граней, перпендикулярных осям координат; Sn - площадь грани с нормалью п; h - высота тетраэдра, опущенная на грань S. Объем тетраэдра будет равен

r = Sh. Запишем для этого тетраэдра закон сохранения энергии (4.5), применив к интегралам теорему о среднем:

J г. dE dv dv dv

P dt dx y dy dz

= St7 + SJ% -f Syt% -f SJ%. (5.1)

Здесь Sat = Scos(пГ), SyCQS(n,y), Sz= Szos(n,z). Сократив see члены равенства (5.1) на S и устремив h к нулю, получим

tn + t-x cos {пх) + t y cos (n, у) +1- cos (n, z) = 0. (5.2)

Из физических соображений ясно, что tn =-t-n, где tn описывает поток энергии внутрь, а - поток через площадку с нормалью (-п) - описывает поток изнутри. Вводя величины tx, ty, tz, получаем

I = cos (n, x) -f ty cos (n, y) + tz cos (n, z). (5.3)

Из формулы (5.3) следует, что совокупность (tx, ty, tz) образует вектор. В этом легко убедиться, если записать (5.3), выбирая последовательно в качестве п орты новой системы координат х, у, z. Полученные формулы связи (tx, ty-, tz) и (tx, ty, tz) представляют собой известные формулы преобразования компонент вектора при переходе от одной системы координат к другой. Вектор

itxi + ty] + tzk (5.4)

называют вектором потока тепла. Величина tn есть проекция этого вектора на п: = (tn).