§ 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Используем формулу (5.3) для преобразования интеграла, связанного с вектором теплового потока:

J J / dS = J J cos (rCx) + ty cos (rCy) + tz cos (rCz)] dS =

rdtx

L dx

dx. (6.1)

Подставим (6.1) в выражение (4.5), представляющее собой зд-пись закона сохранения энергии:

LP dt дх

У ду дг

Равенство (6.2) справедливо для любого объема, следовательно.

dv ~dx

dv ~dz

dz

(6.3)

Равенство (6.3) - запись закона сохранения энергии в дифференциальной форме.

ГЛАВА VI

ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКИХ СРЕД

В предыдущих главах были получены дифференциальные уравнения, представляющие собой запись основных законов сохранения. Закон сохранения массы в общем случае при наличии источников массы имеет вид (2.3) гл. П. При приведении уравнений, представляющих собой запись законов сохранения, к более простому виду предполагалось, что источники массы отсутствуют. Сохраняя это предположение и в дальнейшем, выпишем полученные в дифференциальной форме законы сохранения.

Закон сохранения массы

e. + pdivv = 0. (I)

Закон количества движения

dv дХх дХи дх,

Pw= + -w++-dt- (И)

Закон моментов количества движения rfM дЛ]с дЛц дл

р-рп+1ххх + 1хху+кхгг+-++~. ап)

Закон сохранения энергии

dE dv dv dv dtx , diy dtz

P = 8-f T,.-3-f t,.-f T,. + -f 4-. (IV)

В написанных уравнениях функции F, П, е обычно известны. Искомые функции - р, v, т,к, М, шн, t. Таким образом, неизвестных больше, чем уравнений. Общих уравнений сохранения недостаточно для получения замкнутой системы уравнений, описывающей движение сплошной среды. В этих общих уравнениях нет информации о самой среде. Надо ввести модели сплошной среды, которые с некоторой точностью отражали бы действительные свойства жидкости и были бы достаточно удобны для получения замкнутой системы уравнений и ее решения. Во всех моделях, рассматриваемых в этой главе, тензор напряжений симметричен, в силу чего уравнение моментов количества движения приобретает вид (2.5) гл. IV.

§ I. ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИИ ДЛЯ НЕЕ

Жидкость называется идеальной, если в ней отсутствуют касательные напряжения и наблюдаются только нормальные напряжения. Таким образом, на движущуюся жидкость распространяется свойство, которое наблюдается в жидкости при равновесии или ее движении как абсолютно твердого тела. В реальных жидкостях касательные напряжения не равны нулю, но

часто встречаются случаи, когда касательные напряжения малы по сравнению с нормальными. В таких условиях жидкости удобно представить как идеальные. Итак, считаем жидкость идеальной. Во всех случаях справедлива формула Коши

т = Хх cos {iCx) + Ту cos (Су) + *г COS (nz). (1.1)

По определению идеальной жидкости

Т =хр П, T = pJ, T,==pj, Тг = Ргк. (1.2)

Подставив (1.2) в (1.1), получим

Р П = Pxi cos (fCx) + Ру] COS (rCy) + Рг COS (ttTz). (1.3)

Поскольку

n = COS ( , x) 1 -f COS ( , y)i + COS (n, z) k, (1.4)

из (1.3) следует, что

Рп=Рх = Ру = Рг=-Р- (1-6)

Формулы (1.2) перепишутся в виде

т = -рп, = -р1, Xy = -pl, Тг=-рк. (1.6)

Из (1.6) следует, что в идеальной жидкости величина нормального напряжения не зависит от ориентировки площадки. Величину р называют давлением. Из (1.6) следует, что составляющие тензора напряжений хи = -р, т,* = 0 {{ф k). Тензор напряжений идеальной жидкости будет иметь вид

р/. (1.7)

В тензор (1.7) входит только величина р - скаляр.

§ 2. ВЯЗКАЯ (НЬЮТОНОВСКАЯ) ЖИДКОСТЬ И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИИ ДЛЯ НЕЕ

Вязкой называют жидкость, в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напряжения. Рассмотрим эксперимент, который проводил еще Ньютон. Имеются две плоскости, между которыми находится жидкость. Нижняя пластина закреплена, верхняя движется параллельно нижней на расстоянии h со скоростью v (рис. 10). Опыт показывает, что сила f, которую надо приложить к верхней пластине.