f = j, 5, где 5 - площадь пластины. Сила, приходящаяся на единицу площади, в нашем случае касательное напряжение

т,. = (х-. (2.1)

Здесь ц - коэффициент, который зависит от свойств жидкости.

Этот же опыт дает распределение скоростей жидкости: на неподвижной пластине скорость жидкости равна нулю, на верхней - равна скорости пластины. Распределение скоростей поперек линейно зависит от расстояния

v. = vf. (2.2)

В силу (2.2)-- = -. и выражение для Хух можно записать в виде

V = l- (2.3)

Для многих жидкостей равенство (2.1) выполняется с большой степенью точности. Коэффициент р называется коэффициентом вязкости. Причиной вязкости (касательных напряжений) является хаотическое движение молекул, переход которых из слоя в слой создает торможение этих движущихся слоев относительно друг друга.

Так как в рассматриваемом движении Vx = Vx(y) и, следо-

вательно, е., = - + -j =

Р - - - то, как следует из

2 dy

(2.3), в этом случае справедливо соотношение

-ух = 2iieyx. (2.4)

В соответствии с рассмотренным опытом можно вывести связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в общем случае.

Жидкость называется вязкой ньютоновской, если выполнены следующие условия:

1) в жидкости, когда она движется как абсолютно твердое тело или находится в покое, наблюдаются только нормальные напряжения;

2) компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформаций;

3) жидкость изотропна, т. е. ее свойства одинаковы по всем направлениям.

Условие 1) означает, что т,к = О при i ф k, если все гтп - 0.

Условие 2) означает, что xik могут быть представлены через Етп В виде (учитывая симметрию тензора напряжений)

ТдгАг = аю + аиВхх + a\2yy + aizzz + 148 + 158 + ,682;,

Tj/j/ = 20 + a2xZxx + 228;, + 023622 + ОцЪху -f а2фуг + 2682*,

Тгг = 30 + ахВ-хх + згеу + аззВгг + аЁху + азаег + ЗЬгх, т:ху = Ту;с = + ацвхх + a,i2Syy + азг +

+ а448лг + 4562 + а4бегл:, (2.5) Tj,z = = 50 + йыхх + 5281/ + 53822 +

+ 548x1/ + 5561,2 + аьфгх, Тгх == Тд2 = 60 + 6iexx + 62 ;/!/ + 63822 +

+ б48ху + amyz + 6682Х.

Условие 3) означает, что коэффициенты aik в (2.5) не зависят от выбора системы координат.

Предположим, что жидкость покоится или движется как абсолютно твердое тело. В этом случае все Ътп = 0. Из формул (2.5) тогда будет следовать, что

Тхх = 10. = 20, Тгг = 30,

Txj/ = Ty; = a4o, Xyz - Xzy = ara, Тгх = Т; = бо-

Но по условию 1) все касательные напряжения при этом обращаются в нуль. Следовательно,

40 == 50 = 60 = 0. (2.7)

Нормальные напряжения в этом случае не зависят от ориентировки площадки. Обозначим общую величину этих напряжений через -р. Тогда

10 = 20 = азо = - Р- (2.8)

Перейдем к системе координат х, у, г, оси которой являются главными осями для тензора скоростей деформаций. Обозначим 8хх = 1 у-у Ч 2 = 8з (е4 = 0 при 1фк). Выпишем выражения для Ххх и Хху - Хух в этих координатах, учитывая (2.7) и (2.8):

Vx = - Р + 81 + 122 + 1383; (2.9)

TXV = -fyx = 411 + 422 + 433- (2-10)

Рассмотрим формулу (2.9). Покажем, что ai2 = 13. Для этого введем новые оси координат

jc = x, y = z, z = y. (2. И)

Оси х , у , z - тоже главные оси тензора скоростей деформаций. В этих осях равенство (2.9) сохраняет свой вид:

Vx = -/ + u< + i2< + i383- (2.12)

Здесь е , г , eg-главные скорости деформации в осях х , у , г . Учитывая (2.11) и определение величин е/, получим

1 ~ дх ~ дх 1 ®2 - ду - дг ~з> Ч -Ч 1 Подставив (2.13) в (2.12), будем иметь

X, .= - р + а 8, + 0,283 + а,з8,. (2.14)

Так как оси х и х совпадают, то х = т и

хх х = ххх. (2.15) Приравнивая (2.9) и (2.14), получим

(ai2 - а,з) (ез - 82) = 0. (2.16) Так как (2.16) имеет место при любых ег и вз, то, следовательно,

ai2 = ai3. (2.17)

Положим

ai2 = ai3 = , aii = + 2[i. (2.18) Подставляя (2.18) в (2.9), получим

хх = - Р + (8, + + 83) + 2ц8,. (2.19) Аналогично получим формулы для Tj,y и xz-

УУ = - Р + Я (8, + 82 + 83) + 2JX82,

zz = - Р + я (е, + 82 + 83) + 21x83.

(2.190

Здесь 81 + 62 + ез = div v.

Рассмотрим теперь выражение (2.10) для касательных напряжений и покажем, что в главных осях тензора скоростей деформаций все касательные напряжения равны нулю. Наряду с системой координат х, у, г введем систему координат х , у , z :

х х, у = -у\ z z. (2.20)

Новая система координат также является главной и можно написать

Vv = 4i< + 42c + 43<. (2.21)

Очевидно,

е -е е -8

(2.22)

1 дх дх 1 2

Подставляя (2.22) в (2.21), получаем

х, ,., = а 8, + а,22 + 4з з = ху (2-23)