Но по фнзнческому смыслу х,, и т, , справедливо и такое равенство:

= -V.- (2.24)

Действительно, t, = х величина х,, есть проекция вектора т, на ось у, а т, , - проекция этого же вектора на противоположное направление. Из равенств (2.23) и (2.24) следует, что Хху = 0.

Аналогично устанавливается равенство нулю и остальных касательных напряжений:

- Туд: - Xxz - Xzx - Туг - Хгу - О,

(2.25)

т. е. в главных осях тензора скоростей деформаций касательные напряжения в вязкой жидкости равны нулю. Но такие оси есть главные оси тензора напряжений. Следовательно, главные оси тензора скоростей деформаций одновременно являются и главными осями тензора напряжений.

Равенства (2.19) и (2.25) можно объединить, записав их в виде одного тензорного равенства:

(2.26)

Равенство (2.26) устанавливает связь между компонентами двух тензоров (правую часть можно записать в виде одного тензора) в главных осях. Но если два тензора равны между собой в каких-то осях координат, то они будут равны и в любых других осях координат, так как компоненты тензора при переходе к другой системе преобразуются по одним и тем же законам.

Таким образом, связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в любых осях координат имеет вид

Для составляющих получим

т,г = - /7 + А div V -f 2fi8/i, Т(й==2ле,*,(гй).

(2.27)

(2.270

Используя формулы для составляющих тензора скоростей деформаций ((8.8) гл. I), получим окончательное выражение для

составляющих тензора напряжений в вязкой жидкости:

dVx ( dVx dvy \

Tx;. = -P + divt; + 2[i. Хху = Хух = +

dVu f dVu dVz \

Xyy=-p + ldWv + 2ii-. T = T = p+ j. (2.28)

В формулы (2.27), (2.28) входят два параметра: X и ц. Если = ц = О, то тензор напряжений вязкой жидкости обращается в тензор напряжений идеальной жидкости. Коэффициент р называют коэффициентом вязкости (или сдвиговой вязкости), X - вторым коэффициентом вязкости (или коэффициентом объемной вязкости). Часто коэффициентом объемной вязкости назы-

вают не X, а величину X = Х -\- \i. Наряду с ji для несжимаемой жидкости часто рассматривают величину v, называемую кинематическим коэффициентом вязкости v = -. Коэффициент р

может быть определен экспериментально; в случае, если известен закон межмолекулярного взаимодействия, его можно вычислить теоретически. Вообще говоря, [i = p(/7, Г), но зависимость от давления слабая. Наиболее часто пользуются следующими приближенными формулами для зависимости ji от Т. Для небольших интервалов температур используют линейную зависимость

li = li,[l+a{T-To)].

Здесь а берется из эксперимента (для воздуха а = 0,00264); [io - значение коэффициента вязкости при Т = Го. Для более

широких интервалов температур принимают - = (- (для

воздуха п = 0,76).

Часто пользуются формулой Сюзерленда

С+ 273 / Т \/. \ - 1о-сТт~{ш)

Постоянная С для воздуха, азота и кислорода соответственно имеет значения П7, ПО и 127.

Второй коэффициент вязкости X исследовать трудно. В случае, если жидкость несжимаема, то divv = О и он выпадает из уравнений. Для случая одноатомных газов теоретически пока-

зано, что Я = --р., т. е. X = X + -\i = Q. Коэффициент X

существен в задаче о распространении звука.

Замечание. Закон связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций, который мы установили исходя из закона трения Ньютона, имеет вид (2.27). Жидкости, которые подчиняются этому закону, называются ньютоновскими жидкостями. Однако существуют жидкости, которые не подчиняются закону Ньютона. Приведем примеры.

Пример 1. Для растворов полимеров (например, каучук в бензоле) и некоторых легко деформируемых металлов, которые можно рассматривать как жидкости, часто используется следующая связь между Пк II и е,-* (предполагается, что divv = 0):

1т =-р/ + 2це(Л + 25со .

Здесь

S3 \ / dv, dV/ \

Тензор II coijfe II - тензор второго ранга. Действительно, перемножив тензоры скоростей деформаций е;/ II и II, получим тензор четвертого порядка с составляющими о);/ = е/уе;*. Свертывая этот тензор по индексу j = I - п, приходим к тензору llcoiifell. В выражение для II тензор coiji входит с коэффициентом 2S. Коэффициент S - новая физическая характеристика для жидкостей, он находится из эксперимента.

Пример 2. Модель вязкой жидкости неприменима для описания течений разреженных газов. Степень разреженности газа и область применимости модели вязкой жидкости к газам определяются величиной числа Кнудсена Кп = 1/L, где / - средняя длина свободного пробега молекул, L - характерный размер тела. Для слаборазреженных газов L С 1, коэффициенты вязкости р и теплопроводности k пропорциональны I и закон трения Ньютона верен с точностью до членов порядка Кп. Следующее приближение на этом пути (приближение Барнетта) дает один из простейших примеров неньютоновской жидкости. В этом приближении

тгл = (- р + Я div v) бц, + \ieii, + Ст.-ь

причем коэффициент С имеет порядок Кп а Xik - линейная комбинация вторых производных и произведений первых производных от гидродинамических величин р, Т, v.

§ 3. НЕТЕПЛОПРОВОДНАЯ ЖИДКОСТЬ

Жидкость называется нетеплопроводной, если вектор потока тепла t равен нулю. Равенство t = О в проекциях на оси координат tx = ty = tz 0.

Схему нетеплопроводной жидкости используют в случае, когда явления теплопроводности оказывают малое влияние на физический процесс, и обычно принимают одновременно с предположением об идеальности жидкости. Если жидкость идеальная