ГЛАВА VII

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЕ

Уравнення, представляющие собой запись законов сохранения, вместе с дополнительными соотношениями, содержащимися в предыдущей главе, образуют систему уравнений гидромеханики. В главе VI на с. 70 была выписана система уравнений, представляющая собой запись в дифференциальной форме законов сохранения: закона сохранения массы, закона количества движения, закона момента количества движения и закона сохранения энергии.

В этой главе рассматриваем идеальную жидкость. Для нее тензор напряжений имеет вид xik II = -pi- В дальнейшем будем рассматривать жидкости без внутреннего момента. Закон моментов при М = О, П = О, л;,-; = О (учитывая вид t,a) будет удовлетворяться тождественно, поэтому выписывать его не будем.

§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ

1. Уравнение неразрывности сохраняет свой вид (I).

2. Уравнения движения сплошной среды-(II). Так как жидкость идеальна, то

Xx-=-ip, Ху = -]р, х,-кр. (1.1)

При условии (1.1) уравнение (II) примет вид

dv г, . dp .dp , dp

=-Р-уёШр. (1.2)

в проекциях иа оси координат

dvx р 1 dp

dt р dx

dVn 1 dp

-df-Py-T (1-2)

dvz p 1 dp

dt p dz

Уравнения (1.2) -уравнения движения идеальной жидкости - носят название уравнений Эйлера.

3. Уравнение энергии - (IV). Так как жидкость нетеплопроводна, то

х = / = . = 0. (1.3)

В силу (1.1) и (1.3) уравнение энергии запишется в виде

p- = -pdivy. (1.4)

К полученным уравнениям надо присоединить уравнение состояния f(p,p,T)= О и выражение для внутренней энергии Е через какие-либо две величины из трех (р, р, Т).

Таким образом, система уравнений гидромеханики для идеальной нетеплопроводной жидкости примет вид

-- + pdivv==0.

= Р ~ 4 grad р,

dt р

p-jf 4-pdivv = 8. f{p, р, Г) = 0.

Система (1.5) - система шести уравнений для отыскания шести искомых функций: Vx, Vy, Vz, р, р, Т. Пять уравнений - нелинейные уравнения в частных производных первого порядка, одно уравнение - конечное соотношение. Вид зависимости Е = = Е{р,Т) обычно известен. Массовые силы F считаются заданными функциями координат и времени. Объемное поглощение энергии е обычно задается как функция р а Т, хотя иногда может зависеть и явным образом от координат и времени. Выпишем систему уравнений (1.5) более подробно:

др др др др / dVx dVy dV;

dp dp dp (dVx , dVy dvx\

(1.5)

dt - dx dy dz \ dx dy

dt dx dy dz p dx

dVy dVy dVy dVy 1 dp

-+- +-IT+ - T

dt dx dy dz p Ш

/ dE dE dE dE\ (dvx dVy dVz \

f(p, p, Г) = 0.

Здесь £ = £(p, T).

Этой системе уравнений удовлетворяют все течения идеальной нетеплопроводной жидкости, как установившиеся, так и неустановившиеся, а также относящиеся к обтеканию жидкостью

различных тел при разнообразных условиях. Множество решений весьма широко. Надо научиться ставить условия, которые позволяли бы выбрать нужное решение, соответствующее условиям задачи.

§ 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОБ ОТЫСКАНИИ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ

Согласно определению движение называется установившимся, если для любой гидродинамической величины А: Аи = дА

= - = 0. Система уравнення (1.5) в этом случае может быть записана в виде

Й-+ If-+ -Ц-+ Р divv = О, ду , ду , ду 1 ,

f дЕ , дЕ , дЕ \ , .. (2-1

f(p, р, Г) = 0,

Е = Е{р, Т). (2.2)

Искомые функции р, Vx, Vy, Vz, р, Т являются функциями X, у, Z.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции.

1. Граничные условия на поверхности тела. Пусть установившийся поток жидкости движется относительно тела и пусть система координат неизменно связана с телом. Обозначим, как обычно, через S поверхность тела, через п - нормаль к поверхности (функция точек поверхности). Возможны два случая.

а) Тело непроницаемо, т. е. жидкость не проникает через поверхность S тела. Тогда нормальная составляющая скорости на границе должна быть равна нулю:

fJs = 0. (2.3)

В этом случае говорят, что тело обтекается.

б) Тело проницаемо (например, пористое тело), т. е. возможно протекание жидкости через поверхность. В этом случае поток жидкости через 5 является заданной функцией точек М поверхности S и

Vn\s-fiM). (2.4)

Если в жидкости находится несколько тел, неподвижных относительно друг друга, то граничные условия должны выполняться на поверхности каждого из тел.