2. Условия на поверхности раздела жидкостей. Пусть S - поверхность раздела (рис. И). Для установившегося течения эта поверхность неподвижна. Жидкость движется вдоль поверхности S, не проникая через нее. Это означает, что

= (2.5)

Существует еще условие, относящееся к давлению на поверхности раздела. Из закона количества движения следует, что для любой массы жидкости главный вектор объемных и поверхностных сил, включая силы инерции, равен нулю. Выделим элемент объема в виде шайбы вдоль поверхности раздела. Высота шайбы Л/г, площадь основания AS. Пусть Ah С AS. В силу малости Ah силы, действующие на боковую поверхность, можно не учитывать. Объемные силы также можно не учитывать, так как они пропорциональны AS-Ah. Равенство нулю главного вектора сил для такой шайбы приводит к условию равенства нулю суммы

сил давлений, действующих на шайбу сверху (pAS) и снизу (p AS), т. е. дает условие

P4, = P U (2.6)

Таким образом, на поверхности раздела должны быть выполнены условия (2.5) и (2.6). Форма поверхности S находится из условий задачи. 3. Условия на бесконечности. Пусть некоторое тело обтекается потоком поступательным и однородным на бесконечности. В этом случае должны быть известны

vL = v, PL = P, rL = r . (2.7)

Уравнение состояния связывает р, р я Т, поэтому достаточно задать только две из этих величин.

Таким образом, из множества решений системы (2.1) надо выбрать то, которое удовлетворяет на поверхности тела условию (2.3) (если поверхность проницаема, то условию (2.4)), на поверхности раздела - условиям (2.5), (2.6), на бесконечности - условиям (2.7). Эти условия имеют общий характер и относятся к произвольным телам. Свойства жидкости (физика жидкости) отражены в уравнении состояния и в выражении для внутренней энергии.

§ 3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОБ ОТЫСКАНИИ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ

При неустановившихся течениях жидкости гидродинамические функции зависят от координат и времени. Система уравнений, которой они должны удовлетворять, - система уравнений

(1.5), Рассмотрим граничные условия для нестационарных течений.

1. Граничные условия на поверхности движущегося тела. В случае нестационарного течения тела могут перемещаться в жидкости, могут и изменять свою форму. Как и раньше, пусть S - поверхность обтекаемого тела, п - нормаль в точках S. Обозначим через v скорость частиц жидкости, через U(л1, ) - скорость точки М поверхности тела в момент f.

а) Если 5 - поверхность непроницаемого тела, то

v \s==Un{M.t). (3.1)

б) Если тело проницаемое, то

v \s = U{M,t), (3.2)

где IJ{M, t) - заданная функция.

2. Граничныеусловиянаповерхностираздела. В этом случае поверхность раздела может менять свою форму, перемещаясь с течением времени. Пусть - скорость точек поверхности S, разделяющей жидкости I и II (см. рис. 11). Тогда условия запишутся в виде

= = pU = p i,. (3.3)

3 Условия на бесконечности:

vL=v (/), pL = p (/), rL = r(0. (3.4)

4. Начальные условия. Для нестационарных задач движение будет зависеть от того состояния, с которого оно началось. Поэтому кроме граничных условий должны быть заданы в начальный момент времени /о условия, характеризующие состояние жидкости во всей области, занятой жидкостью:

V \ыи У Р U<. = Ро {х, у, г), Т = То (х, у, z). (3.5)

Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти такие функции Vx, Vy, Vz, р, р, Т, которые являлись бы решениями системы (1.5), в начальный момент времени t = to обращались бы в заданные функции (3.5) и во все моменты времени удовлетворяли бы граничным условиям (3.1) или (3.2) на поверхности тела S, условиям (3.3) на поверхности раздела (если она имеется), условиям (3.4) на бесконечности. В начальный момент времени поверхность раздела 2о должна быть задана. Форма поверхности 2 в зависимости от / при начальном условии S (/) , = ищется в процессе решения задачи. Начальные и граничные условия должны быть согласованы, т. е. начальные условия должны удовлетворять условиям в бесконечно далекой точке и на поверхности обтекаемых тел.

Кроме рассмотренных граничных условий встречаются и другие граничные условия, с которыми приходится иметь дело при рассмотрении различных задач.

ГЛАВА VIII

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЕ

В этой главе будем рассматривать вязкую жидкость, для которой связь тензора напряжений с тензором скоростей деформаций дается формулами (2.28) гл. VI, установленными на основе закона трения Ньютона. Будем предполагать, что жидкость подчиняется закону теплопроводности Фурье (см. (4.1) гл. VI). Будем рассматривать жидкости без внутреннего момента. В этом случае уравнение моментов (учитывая, что т,* = т*() удовлетворяется автоматически.

§ 1. ОБЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Уравнение неразрывности

. + pdivv = 0. (1.1)

Уравнение движения сплошной среды

dv дГх . дг дХг РЖ = РР + - + -ЗГ + -Ж- 0-2)

Уравнение энергии

dE dv , dv dv dtx dt dt,

P = e + T,.-fT,.. + r,. -+ (1.3)

Связь тензора напряжений с тензором скоростей деформаций:

= - Р + я div V + 2fi Хху = Хух = + -аГ)

, г. dVy f dVu dv,\

T., = -P + divv-f 2,x-, T =T = ,x(- + -3j, (1.4)

Закон теплопроводности Фурье ix=k

Уравнение состояния

/(р, р, Г) = 0. (1.6)