к этим уравнениям надо присоединить выражения для внутренней энергии Е, коэффициентов вязкости д и Л и теплопроводности k:

ЕЕ{р,Т), К=К(р,Т), 11-ц(р, Г), kkip.T). (1.7)

Считаем, что поле массовых сил F и вид функции е известны.

Таким образом, имеем систему (1.1)-(1-6), в которой число неизвестных равно числу уравнений. Если в уравнения (1.2) и (1.3) подставить (1.4) и (1.5), т. е. исключить из рассмотрения Xik и tj, то получим систему шести уравнений: (1.1), (1-2), (1.3), (1.6) для шести искомых функций: Vx, Vy, Vg, р, р, Т.

Выразив из уравнения состояния одну из функций через две другие и подставив ее выражение в уравнения (1.1), (1-2), (1.3), можно получить систему пяти уравнений для отыскания пяти функций.

§ 2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Рассматриваем однородную несжимаемую жидкость. Для нее р = ро = const - уравнение состояния. Будем предполагать, что коэффициенты вязкости ц и теплопроводности k являются постоянными:

р== const, fe = const. (2.1)

Так как р = const, то = О и уравнение неразрывности принимает вид

Тензор напряжений в силу (2.2) будет

, о dVx fdvx , dVy\

Гуу = -р + 2. xy.=xzy = ,{ + ). (2.3) x =-p + 2.. X.x-Xxz = { + ).

Рассмотрим уравнение движения (1.2). Запишем его проекцию на ось X и подставим вместо т,* выражения (2.3). учитывая при этом (2.1), получим

+ + (2.4)

в силу (2.2) уравнение (2.4) примет вид

Аналогично запишутся два других уравнения - проекции на оси у и г. Вводя обозначения

перепишем уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в виде

-F.- + v.. (2.6)

dt У р ду

.=/r ±4£. + vAt;,. dt р дг

Уравнения (2.6) равносильны одному векторному уравнению = F-l-gradp + vAv. (2.6)

Уравнения (2.6) носят название уравнений Навье-Стокса.

Уравнение неразрывности (2.2) и уравнения Навье-Стокса (2.6) образуют систему четырех уравнений для отыскания Vx, Vy, Vz и р, т. е. для несжимаемой вязкой жидкости при р = const задача об отыскании поля скоростей и давлений может быть решена независимо от задачи отыскания поля температур. После того как функции v и р будут найдены из (2.2) и (2.6), можно искать температуру, решая уравнение энергии.

В отличие от уравнений Эйлера в уравнения Навье-Стокса входят производные второго порядка. Это должно отразиться на постановке граничных условий.

Если же р = О, то уравнения Навье-Стокса переходят в уравнения Эйлера.

Обратимся к уравнению энергии (1.3). Подставим выражения (2.3) для тензора напряжений в группу слагаемых, входящих в уравнение энергии:

dv , dv , dv ( . п dvx \ dVx ,

17 + yW + --dT=[-P + -dr) +

(dVx dvy\dvy f dvx , dvz\ dVz , f dVx dvy\dvx ,

+i{-WdT)+n-dr + )-dr + W-dr)w +

dvy\ dVu f dvu dVz\ dVz (dvx , dVz\dVx (dVz , dvy\dvy

+ (-p + 2p) = -pdivv + 0=0. (2.7)

в силу (2.2) div v = 0. Через Ф обозначена сумма Ф=.[2()Ч2(4) + 2()Ч

Используя закон теплопроводности Фурье (1.5) и предположение, что k = const, получаем

dtx dty dtz (дТ дП дТ \ .

Учитывая (2.7) и (2.9), перепишем уравнение энергии (1.3) в виде

рА = е-ЬФ (2.10)

Для несжимаемой жидкости Е = сТ -\- const, где с - теплоемкость, и уравнение энергии примет вид

cpf = е + Ф-Ь/:А7. (2.11)

Если система уравнений (2.2), (2.6) проинтегрирована, т. е. v и р - известные функции, то уравнение (2.11) есть дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для отыскания температуры Т. Входящая в (2.11) функция Ф неотрицательна и обращается в нуль только в случае, когда жидкость покоится или движется как абсолютно твердое тело. Для идеальной жидкости Ф = О, так как р, = 0. Функция Ф называется диссипативной функцией.

Если среда неподвижна, т. &. Vx = Vy = Vz = Ф = О, то уравнение (2.11) принимает вид известного уравнения теплопроводности

Если коэффициент k нельзя считать постоянным, т. е. k = k{T), то уравнение запишется в виде

Итак, уравнения (2.2), (2.6), (2.11) образуют систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости

dVx dVu dVx .л-- 1 = 0

if=F-l-gradp + v(.g-+i + ), (2.,2,

cp4f-.+ +*(++:).