Часть II. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ

ГЛАВА IX

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Рассматриваем покоящуюся жидкость. В этом случае в жидкости наблюдаются только нормальные напряжения, причем их величина не зависит от ориентировки площадки (см. § 1 гл. VI). Тензор напряжений принимает вид (1.7) гл. VI, а это означает, что для задач о равновесии жидкости не существенно различие между идеальной и вязкой жидкостью.

Будем предполагать, что у жидкости нет внутреннего момента и что для нее справедлив закон теплопроводности Фурье.

§ 1. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Выпишем систему уравнений гидромеханики в общем виде: -g. + pdivv = 0; (1.1)

dv дх дХу дХг

dE dv dv dv dtx dty dtz

9 = f(p,T). (1.4)

Так как жидкость находится в равновесии, то это означает,* что vQ я -~0, а тогда для любой функции f: -jf ~ Ж +

+V grad / =0. Имея это в виду, обратимся к системе уравнений (1.1) - (1.4). Уравнение неразрывности (1.1) выполняется автоматически.

Закон количества движения (1.2) в силу равенств tx = -ip. ty = - ip, Тг=-кр

запишется в виде

F --1 grad р = 0. (1.5)

Уравнение энергии примет вид

dtx , dty . dt:

Уравнения (1.5), (1.6) и (1.4) образуют систему уравнений равновесия.

Предполагая, что объемных источников тепла нет, т. е. е = О, и учитывая закон Фурье \ - k grad Г, где k = k{p,T), получим систему уравнений равновесия в виде

F = -l-gradp; (1.7)

U)+i)+U%-)=0; (1.8)

P = f(p,T}. (1.9)

В системе уравнений равновесия пять уравнений, а искомых функций три: р, р, Т. Система переопределена. Это означает, что равновесие возможно не всегда. Получим условия разрешимости системы (1.7) -(1.9).

§ 2. УСЛОВИЕ ДЛЯ СИЛ

Выпишем уравнения (1.7) в проекциях:

ду=РРу> (2.1)

Продифференцируем первое уравнение по у, второе по л; и вычтем одно из другого. Получим

/dFy dFx\ dp dp

Аналогично получим еще два уравнения:

/dFz dFy\ dp dp

Умножая (2.2) ид Fz, (2.3) на Fx, (2.4) на Fy и складывая, получим

(2.5)

или в векторном виде

F . rot F = 0. (2.5)

Условие (2.5) необходимо для возможности равновесия. Это условие есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы векторное поле F имело вид

F = Bgrad V,

гд,е В и V - некоторые функции координат. Подставляя (2.6) в (1.7), получаем

grad l/ = -p-gradp.

Образуем якобиан и учтем

равновесия (2.1) и равенство (2.6):

при этом

(2.6)

(2.7)

уравнения

D(x. у)

= 0.

Аналогично получим

D(y,z)

D (р. V) D (г, x)

(2.8)

(2.80

Равенства (2.8) означают, что между р и V имеется функциональная зависимость

VQip). (2.9)

Из уравнения (2.7) следует, что dp = рВ dV, рВ

рВ = Ч{р).

Т. е. (2.10)

Равенство (2.5) или эквивалентное ему равенство (2.6) дает общий вид сил, при которых возможно равновесие. При выполнении (2.5) силовые линии ортогональны к поверхностям V = = const. Направление F параллельно grad V.

§ 3. УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ

Пусть имеются несжимаемые жидкости I и II, разделенные поверхностью S, причем р ф р . Равенство напряжений в точках поверхности раздела в случае равновесия дает условие

p4s = P Is. (3.1)