Для каждой из жидкостей справедливы уравнения равновесия

(3.2)

dx P P dz P

Умножим первое уравнение на dx, второе на dy, третье на dz и сложим полученные выражения. В результате буде.м иметь

dp = pFxdx + Fydy + Fzdz). (3.3)

Аналогично

dpii = рп (Fx dx + Fydy + Fz dz). (3.4)

Пусть dx, dy, dz - проекции dr - перемещения вдоль поверхности раздела S. Тогда в силу (3.1)

dp4z = !p ls- (3.5)

Вычитая (3.4) из (3.3) и учитывая (3.5), получаем

(Р - Р ) {Fx dx + Fydy + F, dz) = 0. (3.6)

Так как p Ф p по предположению, то из (3.6) следует, что вдоль поверхности раздела

Fxdx + Fydy + Fzdz = 0, (3.7)

F-dr = 0, (3.7)

т. е. в каждой точке поверхности ее элемент ортогонален вектору силы Р. Равенство (3.7) означает, что работа массовых сил при перемещении вдоль поверхности раздела равна нулю.

Если считать силы тяжести направленными вертикально, то поверхностями раздела будут горизонтальные плоскости. Если принять, что силы тяжести направлены к центру земли, то поверхностями раздела будут сферы.

§ 4. РАВНОВЕСИЕ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Система уравнений равновесия содержит уравнения (1.7) - (1.9). Уравнение состояния (1.9) для однородной несжимаемой жидкости имеет вид р = ро = const. Учитывая это, можно уравнение (1.7) записать в виде

F = J-g,adp = grad(), (4.1)

т. е. равновесие несжимаемой жидкости возможно только в потенциальном силовом поле. Пусть

F = - grad V. (4.2)

Тогда из (4.1) и (4.2) следует, что grad (- = -grad К, т. е.

р = С-роК. ° (4.3)

Постоянная интегрирования С находится из условия р =pQ. Таким образом, давление найдено.

Если массовые силы - силы тяжести, то Fx = Fy = О, Fz = - -g и потенциал V = gz. Из формулы (4.3) в этом случае получаем гидростатический закон:

Р = Ро + Pog (Zo - z).

Для несжимаемой жидкости коэффициент теплопроводности зависит от температуры или постоянен. Если k = k{T), то уравнение (1.8) для температуры - нелинейное уравнение в частных производных второго порядка. В случае k = const уравнение (1.8) переходит в уравнение Лапласа

Функции, являющиеся решением уравнения Лапласа, называются гармоническими. Следовательно, в рассматриваемом случае Т есть гармоническая функция.

Для решения уравнения Лапласа должны быть заданы граничные условия. Чаще всего встречаются два типа граничных условий и соответственно формулируются две краевые задачи.

1. На поверхности S заданы значения температуры, т. е. T\s = T{M)-заданная функция точек поверхности (задача Дирихле).

2. На поверхности 5 задается значение нормальной произ-

водной, т. е. - = Q(Af) (задача Неймана). Известно, что

задача об отыскании решения уравнения (4.4), когда на 5 задана , разрешима только при условии, если Q [М) dS = 0.

Физический смысл этого условия очевиден. Величина k-dS есть поток тепла через площадку dS, а условие QdS =

dS = о означает, что общее количество тепла, входящее

и выходящее через поверхность S, равно нулю. При равновесии это условие выполнено.

Если решать внешнюю задачу Неймана для безграничной области, то условие для потока тепла не ставится - тепло рассеивается.

Итак, в случае однородной несжимаемой жидкости задача об определении температуры решается независимо от задачи об определении давления.

4 Зак. 1031 97

§ 5. РАВНОВЕСИЕ БАРОТРОПНОй ЖИДКОСТИ

Введем определение: жидкость называется баротропной, если ее плотность есть функция только давления

Р = Ф(Р). (5.1)

В противном случае жидкость называется бароклинной. Предположим, что жидкость баротропна, и выпишем уравнения равновесия (2.1), учитьгаая (5.1):

Ф(р) дх Ф(р) ду~У Ф(р) dz >

Введем в рассмотрение функцию

W-S>=S . (5.3)

Ро Р

Для Р{р) справедливы равенства

дР 1 др дР 1 др дР 1 др

(5.4)

дх Ф (р) дх ду ~ Ф (р) ду дг Ф (р) dz Система (5.2) с учетом (5.4) примет вид

дР р дР дР р

Из (5.5) следует, что массовые силы F должны быть потенциальны, т. е. равновесие возможно, если поле массовых сил консервативно. Пусть

F=-gradK, (5.6)

где V - потенциал массовых сил. Из (5.5) и (5.6) следует

дР dV dP dV dP dV ,D

5F = - aF==~W W = - dP--dV. (5.7)

Интегрируя (5.7), получим

P{p) = C-V. (5.8)

Постоянная С находится из условия pv=v, = ро. Определив р и подставив его в (5.1), получим р. Давление и плотность постоянны на поверхностях V = const.

Замечание. Если жидкость находится при постоянной температуре (изотермична) Т = То, то уравнение равновесия для температуры удовлетворяется тождественно, а уравнение состояния принимает вид

Р = /(Р,7о) = Ф(р),

т. е. плотность есть функция только давления - жидкость баро-тропна.