Часть III. ГИДРОМЕХАНИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Будем предполагать, что жидкость идеальна, нетеплопроводна и объемные источники тепла отсутствуют. Это означает, что Тя = -пр, tx = ty = tz = О, е = 0.

Система уравнений гидромеханики идеальной нетеплопроводной жидкости была получена в главе VII (формулы (1.5)). В этих уравнениях теперь следует положить 8 = 0.

ГЛАВА X

ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

При определенных условиях некоторые из уравнений системы могут быть проинтегрированы. Эти условия имеют достаточно общий характер и оказываются выполненными во многих разных по характеру задачах. Полученные соотношения - интегралы системы уравнений - часто бывает более удобно использовать при исследовании задач, чем исходные уравнения.

§ 1. АДИАБАТА

Движение жидкости называется адиабатическим, если жидкость не приобретает тепла извне и не отдает его. Предположения, принятые в этом разделе (t = О, е = 0), означают, что мы рассматриваем адиабатические движения,

Выпишем уравнение неразрывности и уравнение энергии

+ pdivv = 0; (1.1)

p4f+ pdivv = 0. (1.2)

Найдя divv из (1.1) и подставив ее в (1.2), получим

Внутренняя энергия с учетом уравнения состояния может быть представлена как функция р и р. Принимая это во внимание, можем переписать (1.3) в виде

Отсюда

( дЕ dp дЕ dp\ р dp \ др dt др dt J р dt

p dE

dp dp

dp

(1-5)

Правая часть (1.5)-известная функция р и р, обозначим ее через Q(p, р):

= Q{P,9). (1.50

Уравнение (1.5)-обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно связывает изменение давления с изменением плотности в движущейся частице, поскольку уравнение (1.5) получено из уравнения (1.4), в которое входили полные производные и Проинтегрировав (1.5), получим

{р,р) = С. (1.6)

Здесь С - постоянная интегрирования, сохраняющая свое значение для движущейся частицы. При переходе от одной частицы к другой значение С может изменяться. Если бы движение рассматривалось в переменных Лагранжа (а, b,c,t), то можно было бы записать С = С{а, Ь, с).

Равенство (1.6) означает, что плотность в движущейся частице является функцией одного только давления:

р = ф(р, С), (1.60

т. е. имеется баротропность для частиц. Интеграл (1.6) называется адиабатой.

Возможны случаи, когда постоянная С, входящая в (1.6), постоянна для некоторой совокупности частиц. Так, для

установившегося движения С имеет постоянное значение на линии тока. Действительно, при установившемся движении траектории и линии тока совпадают. Возьмем точку Л4 на линии тока, в ней постоянны давление рм и плотность рм-Для любой частицы, прошедшей через эту точку, можно записать С = {рм,рм)-Для частиц, движущихся вдоль линии тока, проходящей через точку М, будет справедливо равенство (р, р) = {рм, рм). Таким образом, для установившегося течения имеется баротроп-иость на линии тока. Встречаются случаи движения, когда постоянная С одинакова для всех часпщ жидкости, т. е. имеется баротропность во всем пространстве, занятом жидкостью.

Пример. Адиабата Пуассона. Рассмотрим газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона

Пусть Cv и Ср - теплоемкость газа при постоянном объеме и постоянном давлении; предполагается, что они постоянны. В это.м случае внутренняя энергия

EcJ. (1.8)

Учтем известное соотношение Ср - с = - и, выразив Т из (1.7) через р и р, подставим Т в (1.8):

£ =-или E = -j-\. (1.9)

Отношение Ср/с = k называют показателем адиабаты. Уравнение (1.5) при таком выражении для Е примет вид

= kf. (1.10)

Интегрируя последнее уравнение, получаем соотношение, которое называют адиабатой Пуассона:

р = Ср\ (1.11)

Соотношение (1.11) имеет место в частице. Постоянная С может изменяться от частицы к частице. При установившемся движении С (т. е. р/р*) постоянна на линии тока.

Замечание. Предположение о постоянстве Ср и Со, при котором получено соотношение (1.11), справедливо в определенном диапазоне температур, зависящем от физических свойств

Ср R

газа. Величина показателя адиабаты k = - = I---зависит

ОТ структуры молекул, составляющих газ: для одноатомных га-

ЗОВ Cj, = yi? и =-3-; для двухатомных, когда энергию колебательного движения молекул практически молено не учитывать, Cv = -jR и k = j и т. д.