§ 2. ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ

Предположим, что жидкость идеальна, массовые силы консервативны, движение установившееся, имеет место баротропность на линии тока.

Так как жидкость идеальна, то уравнение движения

- = F-lgradp. (2.1)

Так как массовые силы консервативны, то

F = -gradl/ (2.2) и уравнение (2.1) можно переписать в виде

- = -gradK-lgradp. (2.3)

Предположение о баротропностн на линии тока означает, что

Р = Ф(Р, С), (2.4)

где С постоянна на линии тока.

При установившемся двил<ении траектории и линии тока совпадают. Обозначим через dr(dx, dy, dz) элементарное перемещение вдоль линии тока и умножим скалярно все члены (2.3) на dr:

-g.. dr =-grad 1/. dr-- grad р-dr. (2.5)

Так как линия тока является и траекторией, то dr d\ , , 1

dT dt Кроме того,

grad F . dr = dV, grad p dr == dp. (2.7)

Подставив (2.6) и (2.7) в (2.5), получим

d{) = -dV-\dp. (2.8)

Имея в виду (2.4), введем функцию Р (р, С):

с учетом (2.9) равенство (2.8) можно переписать в виде

d{ + V + Р)=0. (2.10)

Отсюда

+ F + Р = const. (2.11)

Равенства (2.10) и (2.11) имеют место на любой линии тока, но постоянная в правой части (2.11) может изменяться при

dr = dvw=\d{ww) = d[\). (2.6)

переходе от одной линии тока к другой. Равенство (2.11) называют интегралом Бернулли.

Рассмотрим интеграл Бернулли для двух важных случаев.

1. Однородная несжимаемая жидкость. В этом

случае р - заданная постоянная и Р{р)=[ = Интеграл Бернулли примет вид

4-+ + 7 = С. (2.12)

Если массовые силы - силы тяжести, то V = gz и интеграл Бернулли в этом случае

+ g2 + = C, (2.13)

+ . + = С. (2.14)

Отдельные слагаемые в (2.14) имеют размерность длины и на-зываются соответственно: - = п-- скоростной, z - геометрической, - пьезометрической высотами. Равенство (2.14)

позволяет дать такую формулировку интергала Бернулли: при движении однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести сумма скоростной, пьезометрической и геометрической высот постоянна вдоль линии тока.

2. Совершенный газ. В этом случае уравнение состоя-

ния есть уравнение Клапейрона р = - рТ, Cv = const. При сделанных в этой главе предположениях имеет место адиабата Пуассона (1.11). Введем новую постоянную D = С *. Тогда

9k Р

Учитывая (2.15), вычисляем Р{р):

Pip)-\=\ DP- dp = D- р-Т = . (2.16)

Подставив (2.16) в (2.11), получим интеграл Бернулли в виде

l-+V + Ti = C. (2.17)

Из физики известно, что производная равна квадрату скорости звука. В случае адиабатического процесса можно убедиться, что = = Таким образом,

+ V+T = C. (2.18)

Эта формула является одной из важных формул газовой динамики. В газовой динамике обычно массовые силы не учитывают, а постоянную С обозначают через to- В этом случае интеграл Бернулли принимает вид

+ = о- (2-19)

Здесь V - скорость газа, а - скорость звука в той же точке.

Чтобы определить постоянную в правой части (2.19), достаточно знать характеристики в какой-либо одной точке линии тока. Из (2.19) следует, что скорость звука и температура, а с учетом (2.15), и давление и плотность будут максимальными иа линии тока в точке, где скорость равна нулю. Эти величины обычно обозначают через Оо, Го, ро, ро и называют параметрами адиабатически затормон<енного газа (параметрами торможения) . Величину i = = СрТ = -jZTJ называют энтальпией

(теплосодержанием). Соответственно постоянную /о в правой части интеграла (2.19) называют энтальпией торможения. Положив в (2.19) скорость V = О, получим выражение для /о через параметры заторможенного газа:

Oq k k Pq

Может случиться, что в некоторой точке скорость газа окажется равной скорости распространения звука в данном месте, т. е. V = а = о*. Полагая в (2.19) v - а - а*, получаем выражение io через критическую скорость а*-

0 = +-

2 fe- 1 ~ fe- 1 2

Соответственно интеграл Бернулли запишется в виде 2 а2 k+l

2 +/г-1 fe - Г 2

Из ЭТОГО равенства следует: если v > а*, то тогда v > а, т. е. поток сверхзвуковой;

если и < а то у < а, т. е. поток дозвуковой. Поэтому скорость й и называют критической.

§ 3. ИНТЕГРАЛ БЕРНУЛЛИ В СЛУЧАЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С УСЛОЖНЕННОЙ ТЕРМОДИНАМИКОЙ

В термодинамике энтальпия единицы массы газа определяется выражением

/ = £-fpj. (3.1)