Следовательно, при малых изменениях параметров состояния

На основании первого начала термодинамики сумма dE + pd -

равна притоку тепла dq к системе. Если приток тепла к системе или отвод тепла от нее отсутствует, т. е. если процесс адиабатический, то dq = О и di - -. Таким образом, для адиабатического процесса равенство (2.8) (при отсутствии массовых сил) можно записать в виде d + d/ = 0 и соответственно интеграл Бернулли - в виде

+ i-k, (3.2)

где (о - значение энтальпии при и = 0.

Если ввести в (3.2) выражение (3.1) для г, то будем иметь

Здесь Е - внутренняя энергия, складывающаяся в случае многоатомного газа из энергии поступательного Еп, вращательного £в и колебательного Е движений молекул (предполагается, что нет процессов диссоциации, ионизации и др.). В газовой динамике предполагают, что газ совершенный, а теплоемкость обычно считают постоянной, что справедливо в определенном диапазоне температур, когда можно не учитывать колебательную энергию. В этом случае для двухатомных газов (воздух обычно рассматривают как смесь кислорода и азота) £ = + =

- k~ \ энтальпия дается формулой (2.16), а ин-

теграл Бернулли имеет вид (2.17) (при F = 0). Если температуры таковы, что возбуждается и колебательная энергия Ек, то интеграл Бернулли надо писать в виде

4 + Я + £з + Як + = -0.

Для газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, колебательная энергия есть функция температуры 7 , но при этом теплоемкость колебательных степеней свободы, а сле-

довательно, и = - =--г-- зависят от Т.

Для двухатомного газа в предположении, что молекулы - гармонические осцилляторы, выражение для колебательной энер-

гии имеет вид Е = --. Величина 6, имеющая размерность

температуры и называемая часто характеристической темпера-!14

турой, равна 0 = -. где v - частота колебаний, h-постоянная Планка, а к - постоянная Больцмана.

Интеграл Бернулли для двухатомного однокомпонентного газа с учетом возбуждения колебательной энергии будет иметь вид

Интеграл Бернулли может быть использован н при исследовании неравновесных процессов. Чаще всего неравновесным оказывается процесс, связанный с изменением колебатель[юй энергии, так как колебательная энергия достигает своего равновесного значения значительно медленнее, чем энергия поступательного и вращательного движений. В этом случае энергия колебательного движения Е уже не будет функцией температуры, а будет новой неизвестной функцией. Интеграл Бернулли при этом записывается в виде

4 + Y 7 + = го-

Для того чтобы система уравнений гидромеханики оказалась замкнутой, должно быть построено дополнительное уравнение для отыскания Ек- В случае, если колебательная энергия мало отклоняется от своего равновесного значения Ек(Т) (т. е. рассматривается слабонеравновесный процесс), это уравнение имеет вид

Здесь Ек{Т)-равновесное значение Ек, соответствующее данной температуре Г; - фактическое (искомое) значение колебательной энергии. Величина т, имеющая размерность времени, называется временем релаксации и характеризует быстроту, с которой система приходит в состояние равновесия. Обычно величина т есть функция р и Т. Если двухатомные молекулы можно представить как гармонические осцилляторы, то для однокомпонентного газа это уравнение справедливо и при больших отклонениях от равновесия.

§ 4. ДВА ПРИМЕРА НА ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА БЕРНУЛЛИ

1. Истечение несжимаемой жидкости через малое отверстие. Рассмотрим истечение жидкости из сосуда через отверстие. Будем считать, что отверстие расположено вблизи дна (рис. 12). Жидкость предположим несжимаемой и находящейся в поле сил тяжести. Пусть S - площадь открытой поверхности жидкости в сосуде, s - площадь отверстия, Н - уровень жидкости в сосуде.

предполагаем, что s/S С 1. Когда отверстие открыто, то уровень в сосуде понижается, хотя и медленно. Возникающее течение будет неустановившимся, но медленно изменяющимся во времени [s/S мало). Это движение можно приближенно рассматривать как последовательную смену установившихся движений. Такая трактовка неустановившихся движений носит название квазистационарной трактовки, или квазистационарного подхода. При таком подходе можем записать интеграл Бернулли, который для несжимаемой жидкости при V - gz для любой линии тока имеет вид (2.13).

Рассмотрим линию тока АВ, проходящую через точку А поверхности S и точку В в сечении s. Записав интеграл Бернулли

для точек А и В этой линии, будем иметь

Принимая, что давление в точках А н В равно атмосферному рл = Рв - р, получаем

Рис. 12.

Уравнение неразрывности (постоянство расхода) приводит к соотношению

Из последних двух равенств найдем скорость истечения жидкости из сосуда

Так как s/S<Cl, то можно написать

Последняя формула есть известная формула Торричелли. Скорость истечения не отличается от скорости материальной точки,

падающей с высоты Н.

2. Истечение газа из сосуда через малое отверстие. Рассматриваем газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, для которого справедлива адиабата Пуассона. Пусть газ вытекает в атмосферу через малое отверстие (рис. 13). В силу этого параметры газа внутри сосуда меняются мало, и можно пользоваться квазистационарным подходом. Пусть АВ - линия тока, соединяющая точку А внутри сосуда с точкой В в сечении вытекаю-

Рис. 13.