щей струн. Для точек А и Б можно записать адиабату Пуассона (1.11) и интеграл Бернулли (2.19):

Ра Рв

2 k-

Ра Ра

Рв k-l р

(4.1)

При большом сосуде и малом отверстии Va С ид и можно принять V.] = о, рА = Ро< рл = ро- Обозначая fs = v, рв = р, рв = р, получаем из интеграла Бернулли (4.1)

Из условия адиабатичности следует

Подставляя (4.3) в (4.2), найдем скорость истечения

2k pci. Ро

k-l -1

(4-3)

(4.4)

Формулы (4.3) и (4.4) дают решение задачи.

Рассмотрим полученное решение. Чтобы оно имело смысл, нужно, чтобы р Ро. Введем величину q = pv - расход на единицу площади. Используя (4.3) и (4.4), получаем

РоРо!

2 Г fe-n

iHi-l

(4.5)

Формула (4.5) позволяет исследовать зависимость от =

или, если Ро постоянно, от р - давления среды, в которую вытекает газ. При i = 1, т. е. р = ро, имеем равновесие, газ течь не будет. При уменьшении р, т. е. I, расход увеличивается и при некотором Ч) 1=1* достигает максимума. При . дальнейшем уменьшении I величина q уменьшается, обращаясь в нуль при 1 = 0 (рис. 14). Эксперименты подтверждают справедливость зависимости g{l) лишь для I > I*. При К1* в действительности расход остается постоянным, равным максимальному. Максимальное значение расхода q* =

= qil*) достигается, когда скорость истечения оказывается равной скорости звука. Дальнейшее понижение давления р уже ке оказывает влияния на истечение из отверстия - возмущения из внешней среды не проникают внутрь (скорость распространения возмущений - скорость звука - будет меньше скорости газа

Рис. 14.

в струе). При g < I*, когда струя становится сверхзвуковой, предположепие об одномерности течения оказывается неверным, надо учитывать пространственный характер течения.

§ 5. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА В ФОРМЕ ГРОМЕКИ - ЛЭМБА

Выпишем уравнение Эйлера

= F--i-gradp. (5.1)

Введем в рассмотрение оператор V и скалярное произведение

Применим оператор (5.2) к вектору скорости v:

(vV)-v = t; + f, + t. (5.3)

и используем (5.3) при записи вектора ускорения в уравнении (5.1):

= + (v-V).v, L + (v.V)v = F--gradp. (5.4)

Легко проверить следующее тождество:

(V . V) V = grad () - V X rot v. (5.5)

С учетом (5.5) уравнение Эйлера (5.4) запишется в виде

Ч- grad (-f) vXrotv = F- grad p. (5.6)

Уравнение (5.6) - уравнение Эйлера в форме Громеки - Лэмба. Запишем (5.6) в проекциях на оси, используя обозначение rot V = Q:

+ ж(4)-( А- А) = ..-.

dVn d /v\ 1 dp

-W- + tif[-}- ( a.. - -ад-- 717

+ lfr()-(°. .- A) = -ilf-

Здесь = w Ч- у2 -f v,

.(dx3z dVu\ / dVx dVz\ , /dvu dvx\

уравнения Громеки - Лэмба содержат в явном виде вектор вихря Q.

Существует важный класс движений, для которых rotv = = Q = 0. Такие движения называют безвихревыми. Для безвихревых движений уравнения (5.6) имеют значительно более простой вид, чем исходные уравнения Эйлера.

§ 6. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ, ИЛИ БЕЗВИХРЕВЫЕ, ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим безвихревые движения, т. е. движения, для которых

Q = rotv = 0, (6.1)

или в проекциях на оси координат

ду дг дх ду

При выполнении условий (6.1), как известно, линейная дифференциальная форма Vxdx + Vydy -f Vzdz будет полным дифференциалом некоторой функции ф для любого фиксированного момента времени. Иначе говоря, существует такая функция Ф(а, г/, г, t), для которой полный дифференциал при постоянном t вычисляется по формуле

d(p =Vxdx-[- Vy dy -f Vz dz.

Ho поскольку TO, следовательно,

-=t. .=t- - -t- f)

T. e. компоненты скорости есть частные производные от функции if{x,y,z,t) по координатам. Функцию ф называют потенциалом скоростей, а безвихревые движения называют потенциальными. Для установившихся движений ф = ф(х, г/, 2). Равенства (6.2) равносильны векторному равенству

V = grad ф,

которое следует и непосредственно из (6.1).