§ 7. ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА

Сделаем предположения: 1) жидкость идеальна; 2) имеется баротропность во всем пространстве, занятом жидкостью, т. е. р=1ф(р); 3) массовые силы консервативны; 4) движение безвихревое.

Для безвихревого движения идеальной жидкости уравнение (5.6) принимает вид

f+grad(-f) = F-lgradp. (7.1)

Так как жидкость баротропна, то может быть введена функция

grad р = grad р. (7.3)

Предположение 3) означает, что

Р = -gradl/. (7.4)

Из предположения 4) следует, что

v = grad9, l=grad-. (7.5)

Подставив (7.3), (7.4), (7.5) в (7.1), получим

grad(- + 4+ + P) = 0. (7.6)

Из равенства (7.6) следует, что выражение в скобках не зависит от координат, но может зависеть от времени:

- ++F + P = f(0. (7.7)

Полученное соотношение носит название интеграла Лагранжа. Интеграл Лагранжа можно записать в виде

Предположим, что мы нашли (p{x,y,z,t) и что функция /(/) известна. Тогда из (7.8) можно найти давление р, а затем и Р = Ф(Р)-

Функцию до. входящую в правую часть (7.8), можно считать равной нулю, так как потенциал скоростей определяется с точностью до функции времени. Действительно, если (f{x,y,z,t)-потенциал скоростей, то любая функция вида (f - (p + S{t) также есть потенциал скоростей (grad9 = = gradф). Пользуясь этим, можно ввести функцию ф так, что

-fit)-Ж- Ф = ф-5/(0Л.

Интеграл Лагранжа запишется в виде

+ + V + P{p) = 0.

Сравним интеграл Лагранжа и интеграл Бернулли. Как мы видели, уравнение Эйлера при соответствующих условиях приводит к этим интегралам. Интеграл Лагранжа в некотором смысле более общий, чем интеграл Бернулли, гак как годится и для неустановившихся движений. Но он менее общий в том смысле, что требует безвихревого движения и полной баротропностн (в интеграле Бернулли достаточно баротропностн только на линии тока). Область действия этих интегралов разная.

§ 8. ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА-БЕРНУЛЛИ

Предположим, что жидкость идеальна, баротропна, массовые силы имеют потенциал, движение безвихревое и установившееся. Первые четыре предположения позволяют написать интеграл Лагранжа

dt 2

+ 4 + F + P = /(/). (8.1)

Так как движение установившееся, то Vx, Vy, Vz, а следовательно, и ф не зависят от времени, т. е. ф = ф(х, у, z). Тогда выпадает из (8.1), и l(t) переходит в постоянную. Имеем

~V + P = C. (8.2)

Интеграл (8.2) носит название интеграла Эйлера - Бернулли. Здесь постоянная С одна и та же для всего потока в отличие от интеграла Бернулли, в котором постоянная С на разных линиях тока различна.

§ 9. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ

1. Несжимаемая жидкость. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

dvx dvy dvz

А--- -4- -- = 0

дх ду дг

Так как движение потенциально, то

дх ду - дг

Подставляя Vx, Vy, Vz в уравнение неразрывности, получаем уравнение для потенциала скоростей несжимаемой жидкости

д ~dF~

Уравнение для ф есть уравнение Лапласа,

2. Сжимаемая жидкость. Рассматриваем безвн.хревое движение идеальной баротропной жидкости. Считаем, что массовые силы отсутствуют. В силу этих предположений можем написать

v = gY2dcp; (9.1)

Р = Ф(Р); (9.2)

+4+5=0- (9-3)

Интеграл Лагранжа (9.3) заменяет уравнение Эйлера. К уравнениям (9.1), (9.2), (9.3) следует присоединить уравнение неразрывности

+ pdivv = 0. (9.4)

Наша задача - получить уравнение для потенциала скоростей ф.

Из (9.1) следует, что

Из (9.2), вводя скорость звука 0 = -, получаем

dp dp dp 1 dp

ЧГ ~ ~dp ЧГ ~ HF ЧГ

(9.6)

Уравнение неразрывности (9.4) согласно (9.5) и (9.6) можно переписать в виде

Ф + 71 = 0. (9.7)

Из интеграла Лагранжа (9.3) следует

р dt dt \dt 2 ) i->

Подставим (9.8) в (9.7). С учетом равенства + v grad f

будем иметь

-f - i № (1 + f) + V ггаЧ -Ь )] = 0. (9.9)

Здесь

Из (9.3) следует, что р есть функция суммы (4f+Y)

довательно, есть функция производных от ф. Таким образом, уравнение (9.9) есть уравнение для потенциала скоростей ф.