Введем в (9.9) выражение (9.10) для u. Окончательно будем иметь

Введем обозначение

д2 2-( ал;, ад:, ал;, ад:, а2 Zj ал;, ал:, а/ , /= 1=1

(9.11)

Частные производные второго порядка в уравнение (9.11) входят линейно, коэффициенты при них зависят от производных первого порядка. Уравнения, линейные относительно старших производных, называются квазилинейными. Уравнение (9.1П служит для нахождения ф. После того как ф найдено, из (9.3) найдем р, а затем р = Ф(р).

Предположим, что движение установившееся. В этом случае

= 0 и уравнение (9.11) для потенциала ф принимает вид

д -] у ==0. (9.12)

а? дх, дх, дх.дх,

i 1 i I

=10, ii,

и перепишем уравнение (9.12) в виде я

Ел l Ф л а-ф дх, дх.) дх.дх, i, 1=1 I i 1

I. /=1

Обозначим определитель, составленный из коэффициентов aij, через D = det ац . В зависимости от знака D различают три типа уравнений (9.13): эллиптические уравнения, если D > 0; гиперболические уравнения, если D < 0; параболические, если D = 0. Непосредственно можно убедиться, что в нашем случае определитель D оказывается равным

D=,-M. = Ё() = . (9.14)

Таким образом, уравнения являются эллиптическими, если Л1 < 1, т. е. о < а, - скорость потока меньше скорости звука; уравнения гиперболические, если М > 1, т. е. ч > а, - скорость потока больше скорости звука.

Частный случай. Рассмотрим задачу о распространении малых возмущений в сжимаемой жидкости. Пусть эти возмущения

возникают в находящемся в равновесии покоящемся газе. Обозначим через ро, ро, о. где al = ~ , параметры газа при

С Р-Ро

V = 0. Гидродинамические величины можно в этом случае записать в виде

1) = и, р = ро + р, р = ро + р, (9.15)

где и, р, р - малые возмущения скорости, давления и плотности. Так как рассматривается потенциальное движение, то v = gradф, где ф - потенциал возмущенного движения (v = v= grad ф). Отбрасывая в уравнении (9.11) члены, содержащие малые величины в степени выше первой, получаем

i! + i! + . ! = o. (9.16)

Уравнение (9.16) -классическое волновое уравнение. Величина ао -скорость распространения звука в покоящемся газе. Найдя Ф из решения (9.16), определим скорость v = grad9. Определим давление, используя интеграл Лагранжа:

p = p-po==-Po4f- (9.17)

Так как жидкость баротропна, то р = Ф{р), и можно найти р: р = р-ро = (4) (Р Ро) = 4р. (9.18)

Давление и плотность также удовлетворяют волновому уравнению. В этом нетрудно убедиться, дифференцируя (9.16) по t и используя формулы (9.17) и (9.18). Заметим, что волновое уравнение для р и р можно получить непосредственно из системы уравнений идеальной сжимаемой жидкости. Подставив в систему соотношения (9.15) и исключив из уравнений, например, v и р, получим волновое уравнение для р.

Волновое уравнение (9.16) описывает распространение возмущений со скоростью йо- Проще всего в этом убедиться, рассматривая частные решения уравнения, зависящие только от х и /. В этом случае (9.16) принимает вид

i!4L Li!5L = o (9 19)

Общее решение уравнения (9.19)

Ф = /,(А:-аоО + /2( + ао/) (9.20)

(/ь /г - произвольные функции) описывает распространение двух волн, движущихся в противоположных направлениях со скоростью ао. Таким образом, скорость звука можно интерпретировать как скорость распространения малых возмущений в покоящемся газе. Законы распространения звука в движущейся и покоящейся средах изучает акустика.

ГЛАВА XI

ОБОБЩЕННЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ

В данной главе рассматривается задача о течении газа в трубе, поперечное сечение которой F{x) меняется медленно вдоль оси трубы X. В этом случае можно построить приближенное решение указанной задачи, используя тот факт, что составляющая скорости Vx изменяется мало по сечению трубы и поперечные

dvy dvz ускорения , малы.

§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Выпишем систему уравнений, считая, что жидкость баротропна и массовые силы отсутствуют:

dt дх ду дг р дх >

у 1 др .

dl Р ду

dvz 1 5р .

~1Г ~ р aF *

(1.2) (1.3)

l + l + t + * + Pd-v = 0; (1.4)

Р = Ф(Р). (1.5)

dVy dVz

Предположим, что поперечными ускорениями

можно пренебречь по сравнению с-. Тогда из формул (1.2),

dvy dvz

(1.3), если в них положить- == О, получим приближенные равенства

f = 0, 1-0. (1.6)

Из равенств (1.6) следует, что давление р, а из (1.5), что и плотность р зависят только от д: и т. е.

p = p{x,t), р = р(х,/). (1.7)

Предположим, что Vx также есть функция только д: и , т. е. что оставшимся уравнениям можно удовлетворить, положив

Vx = vAx,t). (1.8)