I. в ектор (тензор первого ранга). Рассмотрим две системы координат: х х, х и х\, х, х Их взаимное расположение X арактеризуется следующей таблицей направляющих косинусов

° , =C-i = cos , х ), (7.1) где (л:, д: ) -угол между ортами осей.

Пусть г - радиус-вектор точки с координатами Хх, Xi, х: х = \хХх-\-\чХ2Л-\гН- (7.2)

Проектируя г на оси х\, х, х, получим формулы преобразования координат л: х, х в х\, х, х.

1= 1Л + 122+ 133. 2 = Vl+ 222 + 23% З ~ °31-1 32*2 Ь ЗЗ-З

или В общем виде

ш = ыVi (/ =1,2,3). (7.3)

Пусть а - некоторый вектор, аг, аз -проекции вектора а на оси Xi, Xz, Хз. Тогда

а = liui + iauz + 1заз- (7.4)

Проектируя (7,4) на направления осей х[, х[, х, получаем проекции а[, а, а вектора а в новой системе

< = (/ l. 2, 3).

Формулы (7.5) - формулы преобразования компонент вектора при переходе от одной системы координат к другой - мы получили, трактуя вектор как направленный отрезок. Можно, однако, формулы (7.5) положить в основу следующего определения вектора.

Если в каждой декартовой системе координат заданы три числа а\, 2. 3, причем при любом линейном ортогональном преобразовании координат эти числа преобразуются по формуле (7.5), то говорят, что величины а\, ai, а% образуют аффинный ортогональный вектор а = ЦаЦ. В определении присутствует

слово аффинный , так как преобразование координат линейное, и слово ортогональный , так как используются только ортогональные преобразования координат. В дальнейшем мы будем использовать только линейные ортогональные преобразования координат, не оговаривая этого.

Если для ортов осей х\, х[, х написать выражения через их проекции на оси Хи Хг, Хъ

= А.2+ з , з (7-6)

и использовать ортогональность ортов i, ig, {3, то получим формулы, связывающие направляющие косинусы между собой:

(ш ф п),

(7.7)

где т=1, 2, 3; п = 1, 2, 3.

Используя символ Кронекера 8тп, формулы (7.7) можно за писать в виде

где 6,

при т = п,

при тфп.

(7.8)

2. Тензор второго ранга. Рассмотрим два вектора: а и b с проекциями ai, az, аз и bi, 62. Ьз. Из компонент этих векторов можно образовать табл?щу девяти величин

где, очевидно.

С1к = аф .

(7.9)

(7.1о;

Поставим вопрос: как преобразуются величины Сщ при переходе от одной системы координат к другой?

По определению величин с* имеем для новой системы коор-

динат X., Х , Ху

На основании формул (7.5) можем написать Подставляя (7.12) в (7.11), имеем

Cft = (SLl /m m)(ZLl * *я) = m = l Ll <Лг. т* -

Так как Ombn = Сщп, то (7.13) можно переписать в виде

(7.11) (7.12) (7.13)

(7.14) 1У

Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение; если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин Сцг и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с - \\сцг\\- аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга).

Рассмотрим следующие примеры.

1. Таблица

/=l6,-ftll =

1, О, О

О, 1, о о, о, 1

образует тензор второго ранга, который во всех системах координат имеет одни и те же компоненты. В этом легко убедиться, применяя формулы (7.5) и учитывая (7.7). Тензор / называется единичным.

2. Как мы уже показали вначале, таблица с = WcikW. составляющие Сш которой образованы из произведений компонент двух векторов: a(ai, аг, аз) и b(6i, 62, Ьз), так что Ciii - atbk, является тензором. Этот тензор называется диадой, образованной из векторов а и Ь.

3. Пусть компоненты аь Ог, аз некоторого вектора а являются функциями

координат Х\, Xi, x%. Легко показать, что таблица dk, в которой с,ь = --,

образует тензор второго ранга, т. е. совокупность частных производных от компонент вектора по координатам образует тензор второго ранга.

3. Тензор любого ранга. Если в каждой декартовой системе координат задана таблица величин с п индексами

И если компоненты этой таблицы при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам

то говорят, что совокупность величин определяет аффин-

ный ортогональный тензор ранга п (или просто тензор ранга п). Примером тензора п-го ранга является совокупность произведений компонент п векторов.

Формула (7.15), как и формулы (7.5) и (7.14), линейна относительно величин Ст...т, суммировзние в ней идет по вторым индексам, она содержит произведение п направляющих косинусов. С этой общей точки зрения скаляр (величина, не