наоборот. В свер.\звуко150.\1 потоке скорость увеличивается, если растет площадь сечения. Если скорость в потоке равна скорости звука {vx = o.), то из (3.4) следует, что dF = О, т. е. это возможно лишь в сечении, где F(x) имеет экстремум. С этими рассуждениями связана гидродинамика сопла Лаваля - трубы, которая служит для перевода дозвукового потока, т. е. потока с малой скоростью, в сверхзвуковой поток. Чтобы получить переход от дозвукового потока к свер.хзвуковому, труба должна иметь суживающуюся (конфузорную) часть, в которой скорость истока увеличивается до скорости звука в мииимально.м сечении, и затем расширяющ\юся, в которой мог бы ускоряться сверхзвуковой поток. В .мипммалыюм сечении v., = а, т. е. Л\ = 1. Скорость потока, равную скорости звука в данном месте, называют критической.

ГЛАВА XII

ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Течение называется плоским, если все частицы движутся параллельно некоторой плоскости, причем скорости частиц в соответствующих точках плоскостей, параллельных этой фиксированной плоскости, одинаковы по величине н направленпю. Очевидно, в этом случае достаточно рассмотреть течение в од-нон плоскости, когорую можно принять за плоскость (х, у). При таком выборе системы координат все величины будут зависеть

только от координат х, у. Это означает, что Vz = О, = 0. Так

как течение предполагается установившимся, то-=0. Следует иметь в виду, что, говоря о течении в плоскости, мы фактически рассматриваем течение в слое между плоскостью (х, у) и ей параллельной. Так, например, обтеканию контура в плоскости {х,у) соответствует в пространстве обтекание цилиндра, для которого контур в плоскости {х, у) является направляющей.

§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Так как жидкость несжимаема, то плотность постоянна и должна быть известна: р = ро. Искомые функции

t)., = У;, (х, г/), Vy = Vy{x,y), р = р{х,у), Е = Е{х, у). {\Л)

Уравнениями плоской задачи являются уравнение неразрывности, уравнения Эйлера в проекциях на оси х и у и уравнение энергии. Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности будет иметь вид

д. + = 0. (1.2)

Будем считать, что массовые силы консервативны или отсутствуют. Тогда при предположениях, сделанных в данной главе, справедлив интеграл Эйлера - Бернулли. Поэтому вместо уравнений Эйлера используем условие отсутствия вихря и интеграл Эйлера - Бернулли.

Условие отсутствия вихря rot v = О для плоского движения, когда Q = кОг, приводит к равенству

dvy dvx

дх ду

Интеграл Эйлера - Бернулли имеет вод

= 0. (1.3)

+ , Р

2 I р

- + (1.4)

Уравнение энергии для несжимаемой жидкости, если нет притока тепла, дает

4f = 0. 0-5)

т. е. для несжимаемой жидкости энергия в частице сохраняется.

Уравнения (1.2), (1.3) содержат лишь функции Vx и Vy. Уравнение (1.4) может быть использовано для нахождения давления, если известны скорости Vx и Vy.

§ 2. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ

Условие отсутствия вихря имеет вид dVn dVx

вследствие чего существует функция (р{х,у), такая, что

d(p -Vxdx + Vydy; (2.2)

Потенциал скоростей несжимаемой жидкости, как уже было показано и ранее, в силу уравнения неразрывности (1.2) удовлетворяет уравнению Лапласа

Решение уравнения (2.4) должно удовлетворять граничным условиям. В случае обтекания тел однородным безграничным потоком решение должно быть таким, чтобы на бесконечности скорость потока была равна заданной величине \оо, а на поверхности S тела было удовлетворено условие обтекания, т. е.

: V,

= 0. (2.5)

Задача нахождения решения уравнения Лапласа по заданному значению нормальной производной на границе называется задачей Неймана. В случае, если область бесконечна, имеем внешнюю задачу Неймана с граничными условиями в виде (2.5).

§ 3. ФУНКЦИЯ ТОКА

Из уравнения неразрывности (1.2) следует

dvx dVy

дх ду

(3.1) 131