Равенство (3.1) - условие того, что дифференциальная форма Vxdy - Vydx есть полный дифференциал некоторой функции {х, у)

Vx dy - Vydx dlf (3.2)

и, следовательно.

V. =

дх

(3.3)

Для плоских течений несжимаемой жидкости (вихревых и безвихревых) в силу (3.1) всегда существует функция ip. Выпишем уравнение линий тока для плоского случая:

Из (3.4) следует

Vx dy - Vy dx = 0. Сравнивая (3.5) и (3.2), видим, что вдоль линии тока

dil? == О, i: = const.

(3.4) (3,5)

(3.6)

Функцию ф(х, г/) называют функцией тока. Равенство \{х,у) = = const дает уравнение линии тока. Различные значения постоянной соответствуют разным линиям тока. Через функцию тока может быть вычислен расход жидкости, протекающей через кривую АВ (через кусок цилиндрической поверхности высотой Аг = = 1 с направляющей АВ). Расход через кривую АВ

Рис. 16.

= [fx cos ( , х) -f Vycos {п, у)] ds. (3.7)

Если dx, dt/ -проекции элемента кривой ds, то очевидно (рис. 16)

cos (Су) = (3.8)

\ dy cos( , х)=-

Подставляя (3.8) в (3.7) и вычисляя интеграл, получаем Q=\yxdy-vydx)\l{dy + dx)==

-5йг: = г:а-г:, (3.9)

т. е. расход жидкости через кривую равен разности значений функции тока в концах этой кривой.

Для плоского течения имеется простая связь между функцией тока и вихрем скорости

dvn dvx д-ф dlb

=-==-- = -А- (3-10)

Если движение безвихревое (Q = 0), то удовлетворяет уравнению Лапласа

Аф = 0. (3.11)

Уравнение (3.11) служит для нахождения функции при соответствующих граничных условиях. Пусть жидкость обтекает непроницаемую поверхность тела. На этой поверхности Vn = 0. Запишем это условие через функцию используя (3.3) и (3.8):

= cos (С.) -Ь cos (G) - f-b 4г = 2)

Получаем, что на контуре тела должно быть выполнено условие

ds Фи = const - функция тока - сохраняет посто-

янное значение на s. Это означает, что граница тела должна быть линией тока. Физически это очевидно.

Таким образом, в случае безвихревого движения функция тока может быть найдена как решение уравнения Лапласа (3.11), удовлетворяющее граничным условиям на бесконечности и на поверхности тела:

аф aoj)

= vx, {x,y)\s = C. (3.13)

Задача отыскания решения уравнения Лапласа по заданному значению функции на границе называется задачей Дирихле. Для внешней задачи Дирихле условия имеют вид (3.13).

Обратим внимание еще раз на то, что если потенциал скоростей существует только когда движение безвихревое, то функция тока существует всегда. При безвихревом движении функция тока удовлетворяет уравнению Лапласа.

§ 4. КОМПЛЕКСНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И КОМПЛЕКСНАЯ СКОРОСТЬ

Мы получили выражения (2.3) и (3.3) для проекций скорости через производные от функций ф и г]). Сравнивая (2.3) и (3.3), получаем уравнения связи между потенциалом скоростей и функцией тока

ф аф аф .

дх ду ду ~ Тх-

Это известные из теории функций комплексного переменного условия Коши - Римана, которые гарантируют, что функция

w = (f{x, у) + гг: {х, у)

Равенство (3.1)-условие того, что дифференциальная форма Vxdy - Vydx есть полный дифференциал некоторой функции {х, у)

Vx dy - Vy dx = (3.2)

и, следовательно,

аф аф

Vr = r, v = -г- ду у дх

(3.3)

Для плоски.х течений несжимаемой жидкости (вихревых и безвихревых) в силу (3.1) всегда существует функция ф. Выпише.м уравнение линий тока для плоского случая:

Из (3.4) следует

Vx Vy

Ид; dy - Vy dx = 0.

Сравнивая (3.5) и (3.2), видим, что вдоль линии тока

ф = О, г]) = const.

(3.4) (3.5)

(3.6)

Функцию {х,у) называют функцией тока. Равенство \)(х, t/) = = const дает уравнение линии тока. Различные значения постоянной соответствуют разным линиям тока. Через функцию тока может быть вычислен расход жидкости, протекающей через кривую АВ (через кусок цилиндрической поверхности высотой Дг = = 1 с направляющей АВ). Расход через кривую АВ

Рис. 16.

= \ [Vx cos (tt, x) -f cos (tt, y)] ds. (3.7)

Если dx, dy - проекции элемента кривой ds, то очевидно (рис. 16)

cos(C]/) = --g-. (3.8)

соз(/Сх) ==47

Подставляя (3.8) в (3.7) и вычисляя интеграл, получаем Q=\yxdy-vydx)\\{dydx)

- 5я5 = г:й-г15л, (3.9)

т.е. расход жидкости через кривую равен разности значений функции тока в конца.ч -той кривой.