На основании теоремы Римана существует и обратное преобразование t, = F(z).

Предположим, что нам известны функции

2=/(а (7.1)

Будем рассматривать задачу об обтекании контура / потенциальным потоком, скорость которого на бесконечности задана:

Пусть цу (г) - комплексный потенциал, соответствующий этому течению. В w{z) заменим z его выражением (7.1) через

w{z)=wU(0] = W(t,). (7.2)

Так как функция w{z) определена во всех точках области D вне /, то W(C) определена в точках D вне I. Аналитическую функцию W{t,) можно рассматривать как комплексный потенциал некоторого течения в плоскости . Каждому течению в плоскости Z можно поставить в соответствие течение в плоскости , комплексный потенциал которого получается по формуле (7.2). Найдем это течение. Положим

да (г) = ф (х, у) + (х, у),

В соответствующих точках плоскостей z и t, имеет место равенство (7.2), т. е.

Ф (х, у) + /ф (х, у) = Ф (1, Г)) + iW (I, ri). (7.4)

Следовательно, в соответствующих точках

Ф (X, у) = Ф Ц, ri), ф (х, у) = W (I, Tl). (7.5)

Функция w{z) есть комплексный потенциал обтекания неподвижного контура / в плоскости z. Поэтому функция тока {х,у) на контуре / постоянна. Контуру / соответствует окружность / в плоскости 5, следовательно, в силу (7.5) на / функция 4(1,т) будет также постоянна, т. е. окружность есть линия тока течения, комплексный потенциал которого W{!;,). Выясним условия на бесконечности для этого течения. Комплексная скорость

Г \ dW dw dz - , . dz ,

(Й = - = 7- = (г). (7.6)

В плоскости Z в бесконечно далекой точке скорость известна. По построению функции (7.1) производная- в бесконечности положительна:

dw \ - . dz

= fe>0.

Следовательно,

(7.7)

Таким образом, \V{t,) определяет в плоскости t течение вне круга, причем скорость потока на бесконечности равна kv,- Но комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра известен, он имеет вид

(7.8)

Заменяя в (7.8) на F{z), получаем

W (г) = kvF (2) + + In F (2).

(7.9)

Формула (7.9) дает решение задачи об обтекании произвольного контура потенциальным потоком, если известно конформное отображение области вне / на внешность круга, т. е. если известна функция t, = F{z). Величина k находится по формуле

=(IIL) -i<.)j-.

в решении (7.9) циркуляция Г остается не определенной.

§ 8. ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА

Пусть в плоскости Z имеем эллипс с полуосями а и Ь. Задача об обтекании эллипса поступательным потоком, имеющим скорость Voo, будет решена, если будет известен комплексный потенциал w{z). Для этого надо построить функцию t, = F{z),

которая отображает

ф Т1 j © внешность эллипса на

внешность круга. Наряду с плоскостью 2 рассмотрим плоскость (рис. 26).

Введем преобразование Жуковского

Рис. 26.

2 = ?+-

(8.1)

Подберем постоянную с так, чтобы (8.1) давало преобразование области плоскости i вне круга радиуса R в область плоскости z вне эллипса. На окружности

g = Re = R (cos e - i sin 9). (8.2)

Подставляя (8.2) в (8.1) и отделяя вещественную и мнимую части, получаем

x = (;? + )cos9, ij==(R-)s\nQ. (8.3)

Уравнения (8.3)-параметрические уравнения эллипса с полуосями

b = R-

R

(8.4)

Функция (8.1) будет давать отображение окружности на эллипс с заданными полуосями а и Ь, если положить

Преобразование (8.1) при это.м запишется в виде

2 = S + i

1 a-b

(8.5) (8.6)

Получим преобразование, обратное (8.6), т. е. функцию ? = - F{z). Согласно (8.6)

z ± л/г - id -

(8.7)

Обратное преобразование не однозначно. Выберем такую ветвь корня, чтобы внешность эллипса перешла во внешность круга. Для этого в (8.7) следует взять знак плюс. Действительно, прн больших Z в этом случае из (8.7) имеем

1 a~b

+ ...

Таким образом, g = F(z) =

г + Vz - {а - &2)

a + b

k=l. (8.8)

Комплексный потенциал обтекания эллиптического цилиндра будет иметь вид

w{z) = v (г + /z-{a-b) ) + lv±l(z-

-:r(zrb) + in{z + ¥W¥T). (8.9)

§ 9. ПОСТУЛАТ ЧАПЛЫГИНА-ЖУКОВСКОГО

Пусть в плоскости Z имеется профиль с одной угловой точкой, причем угол б < я. Введем вспомогательную плоскость t,. Пусть функция Z = f(t,) отображает область плоскости вне круга радиуса R с контуром / на внешность профиля (рис. 27).

Рассмотрим вопрос о вычисленип скорости в угловой точке А. Точка А при отображении переходит в точку А окружности

Комплексная скорость в точке А может быть представлена в виде

(9.1)