функция z - fit,) преобразует угол п в точке А в угол 2л - б в точке А. Поэтому в окрестности точки Л конформность отображения нарушается и функция z{t,) должна иметь разлоле-ние вида

z-z = M(l-Z.) + ... (9.2)

Отсюда

= 0.

(9.3)

Обратимся к равенству (9.1). В не.м при 1, = !, второй множитель в силу (9.3) обращается в бесконечность. Если скорость dW

-rr- не равна нулю, то скорость Va в угловой точке профиля dl А

будет бесконечно велика, что физически недопустимо.

©

Л 1 X

Рис. 27.

Требование, чтобы скорость в задней острой кромке была конечна, составляет содержание постулата Чаплыгина - Жуковского. Выполнение этого постулата возможно только в том

случае, если скорость в точке А равна нулю, т. е. когда

точка Л является критической в потоке, обтекающем цилиндр. Полол<ение точки Л зависит от величины циркуляции.

Отсюда следует вторая фор.мулнровка постулата Чаплыгина - Жуковского: циркуляция прн обтекании профиля с острой кромкой Л такова, что точка Л окрул<ности, в которую переходит при конформном отобрал<ении точка Л, должна являться критической в потоке, обтекающем цилиндр.

В критической точке А сходятся струи потока, обтекающего цилиндр. Так как линии тока плоскости t, прн отображении переходят в линии тока плоскости 2, то точка Л профиля также долл<на быть точкой схода струй. На основании этого может быть дана и третья формулировка постулата. Циркуляция при обтекании контура с острой кромкой такова, что эта кромка является точкой схода струй.

Постулат Чаплыгина - Жуковского позволяет определить значение циркуляции Г. Для комплексного потенциала W(t,) имеем формулу (7.9):

W(0 = kv + k + -i\nl. (9.4)

Комплексная скорость будет

dW kvR , Г 1 , J.,

= .-- + UJ- (9.5)

Пусть поток, набегающий на профиль, наклонен под углом а, к оси X, т. е.

Усс = 1 сх.е- , и = ие . (9.6)

Положим в (9.5) $ = ,. Тогда согласно постулату dW

Откуда

= feu-- + -- = 0. (9.7)

Г = 2ш-й(-й? ). (9.8)

Учитывая (9.6) и полагая в (9.8) = /?е , получим Г = 2nikR I I (е ( -е - е- ( -е )), Г = 4лй;? i I sin (во-а).

(9.9)

Угол (а -9о), где 9о -угол, определяющий положение точки А на окружности / плоскости %, называется углом атаки. Циркуляция Г обращается в нуль, когда а - 9о = 0.

В формуле (9.9) все величины известны, если только известно конфор.мное отображение профиля на круг. Если величина Г известна, то формула (7.9) для комплексного потенциала будет давать единственное решение задачи обтекания произвольного контура с одной угловой точкой. А тогда можно поставить вопрос о вычислении сил, действующи.х на профиль со стороны потока.

Замечание. Если контур гладкий или имеет угол 6>я или несколько угловых точек, то вопрос о циркуляции не может быть решен без привлечения дополнительных соображений.

§ 10. ФОРМУЛЫ ЧАПЛЫГИНА-БЛАЗИУСА

Получим общие выражения для главного вектора и главного момента сил давлений, действующих на профиль, обтекаемый безотрывным установившимся потоком идеальной несжимаемой жидкости. Мы будем говорить об обтекании контура /, имея в виду обтекание бесконечного цилиндра, и о силе, действующей иа контур, имея в виду силу, действующую на элемент цилиндра единичной высоты.

Главный вектор сил, денствуюшпх на профиль:

F = - pn dl. Проекции на оси координат

Рх = - Р cos (/Гх) dl= - ip dy, Fy = - р cos {n, у) dl = p dx. Образуем величину R:

R = Fx- iFy, R = - p dy - p dx = ~ ip {dx - idy) =

(10.1)

(10.2)

(10.3)

-ipdz.

(10.4)

Вдоль контура / (контур-линия тока) справедлив интеграл Бернулли. Предполагая массовые силы отсутствующими, имеем

+ = с, р = рС-р4-.

(10.5)

2 р

Подставим (10.5) в (10.4):

R-ipCdz + i у2 dz--=i V- dz. (10.6)

Рассмотрим элемент контура dl. Пусть 9 - угол между касательной к контуру и осью X. Тогда

dz = dle\ dzdle- dz = e-<dz (10.7)

и формулу (10.6) можно записать в виде

R = iVe-dz. (10.8)

При безотрывном обтекании скорость в точках контура / направлена по касательной к нему (рис. 28):

yg-te у (,Q5 9 gjj 9

Vx-ivy = v, (10.9)

на основании чего (10.8) приобретает вид

Рис. 28.

v4z.

(10.10)

Формула (10.10) есть первая формула Чаплыгина - Блазиуса.

Если движение безвихревое, то существует комплексный потенциал w{z) и формула Чаплыгина - Блазиуса для этого случая принимает вид

-ШУ - (

Получим выраленне для главного момента сил давлений.