к элементу контура dl приложена сила, проекции которой dFj = ~ pdy, dFy = р dx. Момент dL этой силы относительно начала координат будет

dl. = dFyX-dF,y = p {X dx + ydy), (10.12)

откуда момент сил, действующих на профиль, получим в виде

L = &,p{xdx + ydy). (10.13)

Используем интеграл Бернулли (10.5). Тогда L = Cp{Kdxydy)--v {х dx + ydy) =

= - l-vxdx + ydy). (10.14)

Рассмотрим выражение zdz:

zdz = [х + iy) [dx - i dy) = X dx + у dy + i iydx - xdy). Отсюда

xdx + ydy = Re (zdz),

И, следовательно,

L = --vR&{zdz) = R&~-vhdzy (10.15)

Используя (10.7), перепишем (10.15-) в виде

Z. = Re(--( y2e-2 2dz). (10.16)

Принимая во внимание (10.9), получаем вторую формулу Чаплыгина - Блазиуса

L = Re(--(ti2zd2). (10.17)

Если движение безвихревое, то

L = Re{-{yzdz). (10.18)

В формулах (10.11) и (10.18) за контур интегрирования может быть взят любой контур, охватывающий контур / обтекаемого тела.

Замечание. Введенная сила R есть величина, сопряженная комплексной величине R = Fx iFy, вещественная и мнимая части которой есть проекции главного вектора на оси координат. Эту величину R часто называют вектором силы, или просто силой, действующей на профиль, а величину R - Fx - - iFy - сопряженной комплексной силой.

§ 11. ИНТЕГРАЛ ОТ КОМПЛЕКСНОЙ СКОРОСТИ

Рассмотри.м криволинейный интеграл

l = vdz. (11.1)

1. Предполагае.м, что движение потенциальное, т. е. существует w(z). Тогда v = - и

/ = - dz = dio = {dq> + i d) = Лф + гДф. (11.2)

Здесь Дф, Дф - приращение функций ф и ф при об.ходе контура.

Рассмотрим каждый из интегралов в отдельности. Вдоль контура / dqi = dl, где - - проекция скорости на элемент контура dl, и пото.му

,d-\,dl = Vidl{Vxdx + Vydy) = T. (11.3)

Таким образом, первый интеграл равен циркуляции скорости по контуру. Второй интеграл, как было установлено раньше, дает расход жидкости через контур

Д1з = ( rfit; = Q. (11.4)

Итак, при обходе замкнутого контура будет Дш = Дф--:Дф = = Г -f- iQ, т. е. интеграл от комплексной скорости равен

vdz = r + iQ. (11.5)

2. Комплексная скорость v{z) есть функция комплексного переменного, которая мол<ет иметь особенности в точках внутри области, ограниченной контуром /. Пусть Zu Z2, .. . , Zk, ... - точки внутри области с контуром /, являющиеся особыми для функции v{z). Обозначим через у* вычеты в этих особых точках. По теореме о вычетах интеграл по замкнутому контуру равен

§0С?г = 2лг (П.б)

где Yft = aft + P*-

Сопоставляя (11.5) и (11.6), получаем

§ 12. ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО

Рассмотрим обтекание некоторого профиля / безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости. Этому обтеканию отвечает комплексный потенциал w{z).

Вычислим комплексную силу R по первой формуле Чаплыгина - Блазиуса:

=F.-/F, = f ((4Уг. (12.1)

За контур интегрирования возьмем окружность С с центром в начале координат, охватывающую контур I. Вне этой окружности и на ней комплексная скорость может быть разложена в ряд, Лорана:

(2) = 4г = о + 4 + 4-+ (12.2)

Найдем коэффициенты этого ряда Aq и Аи Полагая г = оо, находим

Рассмотрим криволинейный интеграл от комплексной скорости. Так как и вне / ограничена и не имеет особенностей во всей внешней относительно / части плоскости z, включая и точку Z = оо, то для вычисления криволинейного интеграла достаточно найти вычет подынтегральной функции в бесконечно удаленной точке. По теореме о вычетах, используя ряд (12.2), получаем

d2 = 2nM,.

Согласно (11.5) имеем dz = T + iQ.

Так как профиль предполагается непроницаемым и в потоке нет источников, то Q = 0. Отсюда

Г = 2шЛ Л, = .

Подставляя полученные выражения для Aq и Ai в (12.2), имеем - / \ dw - . Г 1 , Лг , /I г. г,ч

() = = +Т+1+ (12-3)

Чтобы воспользоваться формулой (12.1), вычислим -j:

m = i + .i+{A -)±+ ... ;2.4)

По теореме о вычетах (4f) dz = 2vT. Для комплексной силы R получаем формулу

Ripvr, (12.5)