Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Кинематика жидкости 

1 2 3 4  5  6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

меняющаяся при переходе от одной системы координат к другой) есть тензор нулевого ранга, вектор есть тензор первого ранга.

4. Действия с тензорами.

Сложение тензоров. Если имеются два тензора ранга п:

то величины

Сг,;,...г = Яг,г, ...> + *;,(,... г

определяют новый тензор С, который называется суммой тензоров А и В:

ci,i,...a с=л+в.

Умноо/сение тензора на скаляр. Если имеем некоторый тензор

ранга п и скаляр а, то совокупность величин асг,.../1 определяет новый тензор ранга п, который называется произведением исходного тензора С на скаляр а:

аС = асг,г,...г

Умножение тензоров. Если имеем два тензора: тензор А ранга т и тензор В ранга п:

ТО, умножая каждую компоненту первого тензора на каждую компоненту второго тензора, получаем совокупность величин, которые образуют новый тензор С ранга т -\- п:

Тензор С называется произведением (тензорным) тензоров А и В. В том, что совокупность величин а;,;, ... bjj ... действительно образует тензор ранга m + я, легко убедиться, применяя формулы (7.!5).

Дифференцирование тензора. Пусть компоненты тензора ранга п являются функциями координат Хи Хг, х. Тогда совокупность первых частных производных от компонент тензора по координатам определяет тензир ранга п + 1, т. е. при дифференцировании по координатам ранг тензора повышается на единицу.

Свертывание тензоров (сокращение индексов). Пусть имеем некоторый тензор ранга п: = /,;j... Ц. Выберем у компонент этого тензора два каких-либо индекса ik и im, выберем из всех компонент тензора такие, у которых эти два индекса одинаковы:



Ik = im = / (/ = 1, 2, 3), И, наконец, просуммируем выбранные компоненты по общему индексу /. Тогда величины

... i,

образуют тензор С ранга п - 2, который называется сверткой исходного тензора по индексам ik и im-

Представление тензора в виде су.нмы симметричного и антисимметричного тензоров. Тензор второго ранга называется симметричным, если его компоненты не изменяются при перестановке индексов Cik = cm. Тензор второго ранга называется антисимметричным, если его компоненты меняют знак при перестановке индексов, т. е. с,* = -с;. Общий вид антисимметричного тензора

О, а, b -а. О, с -Ь, -с, О

При преобразовании координат свойства симметричности и антисимметричности сохраняются. Покажем, что каждый тензор второго ранга Cik \\ может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Пусть дан тензор С = II Cik II. Образуем новый тензор С* = Сы II и построим тензор, равный полусумме тензоров С и С*:

5 = i-(C + r) =

4 (21 + С12)

9-(<12+C2l) t(13+<3i)

У ((31 + С13) у (Сз2 + С23)

-5- (23 + С32)

Тензор S симметричен. Положим R = С - S. Компоненты тензора R будут иметь вид

Rik = Y(k ~ <ki)-

Очевидно, что Riu = -Rku Ru - О, т. е. тензор R антисимметричен.

Таким образом,

C = SR.

Тензор S называют сим.метричной, а тензор R - антисимметричной частями тензора С. Приведем некоторые примеры.

1. Рассмотрим скаляр <{х\, х, хз) (тензор нулевого ранга). Совокупность производных первого порядка по координатам

(Эф Зф

дх..

дх..



определяет некоторый вектор А (тензор первого ранга). Этот вектор А называется градиентом функции ф

2. Рассмотрим тензор второго ранга, образованный из векторов а и Ь,- диаду

\\Чк\\ = \\1ЬЛ

Образуем свертку. Для нее имеем

= Е = Z =! = 1*1 + + з*з-

Таким образом, свертка есть скаляр (тензор нулевого ранга), известный как скалярное произведение аЬ

3. Рассмотрим тензор второго ранга С = WctkW и единичный тензор втю-рого ранга / = 1б, . Умножая каждую компоненту тензора С на каждую компоненту тензора /, получаем тензор четвертого ранга

Можно произвести свертывание этого тензора по значкам ( и т либо по k и п. При этом придем либо к исходному тензору, либо к тензору с переставленными строками и столбцами.

5. Псевдотензоры. Обозначим через Д определитель, образованный из направляющих косинусов преобразования осей Хи XI, Хг в оси х\, х, х. Известно, что

а а,з

31 <32

= гЫ.

Причем Д = 1, если правая (левая) система координат преобразуется в правую (левую), и Д = - 1, если правая (левая) система координат преобразуется в левую (правую). Введем теперь понятие псевдотензора.

Если для каждой прямолинейной ортогональной системы координат Х[, Х2, Хз имеется совокупность 3 величин hi.-.t, преобразующихся по формулам

4/,...< = AZ Za/.m, <m ,...m (7.16)

m, m

В величины /г -J... i, отвечающие другой системе координат х\, х, Xg, ТО совокупность этих величин определяет новую величину

T = \\ti,i,...tA (7.17)

которая называется аффинным ортогональным псевдотензором ранга п.

Из формулы (7.16) видно, что когда рассматривается преобразование правой системы координат в левую (или наоборот), то Д = -1 и компоненты псевдотензора меняют знаки на обратные по сравнению с компонентами тензора. Если же при




1 2 3 4  5  6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!