где

R==F,-iFy, v = vx-ivy. (12.6)

Если воспользоваться (12.5) и перейти к комплексно-сопряженным величинам R и Vx, то придем к формуле (теореме) Жуковского

R = -ipvT; (12.7)

здесь

R = Fx + iFy, vVx + iVy. (12.8)

Теорема Жуковского. Главный вектор сил давлений, дейст-вующи.х на профиль, численно равен произведению плотности и абсолютных величин скорости и циркуляции и имеет направление, получаемое путем поворота вектора скорости Voc на угол

Y в сторону, противоположную циркуляции.

Таким образом, для величины силы Жуковского имеем формулу

/?1 = ру .-Г. (12.9)

Существенно, что главный вектор сил перпендикулярен направлению скорости на бесконечности. Силу, перпендикулярную скорости Voo, называют подъемной силой; силу в направлении потока - лобовым сопротивлением.

Из теоремы Жуковского следует, что при плоском потенциальном обтекании возникает только подъемная сила. Подъемная сила возможна только при наличии циркуляции. Для циркуляции мы имеем формулу (9.9). Подставляя выражение для Г в (12.9) (радиус круга обозначаем R), получаем

\R\==4nkRp\v Psin(eo-a).

Так как обычно ось х направляют вдоль скорости Voo, то подъемную силу обозначают через Ry, силу сопротивления через Rx. В реальном обтекании возникает как подъемная сила, так и сила сопротивления. Принято вместо Ry и Rx исследовать так называемые коэффициенты сопротивления

Г - Г =

Здесь S - площадь характерного сечения обтекаемого тела. Для идеальной жидкости Сх = О (/?л: = О - парадокс Даламбера).

Чтобы иметь возможность теоретически вычислить сопротивление, надо отказаться либо от предположения о потенциальности течения, либо от безотрывности обтекания, либо предполагать жидкость вязкой.

При безотрывном обтекании крыльев формула для Су, где Ry вычисляется по формуле Жуковского, хорошо подтверждается экспериментом.

§ 13. ФОРМУЛА ДЛЯ МОМЕНТА

Исходим из второй формулы Чаплыгина - Блазиуса

1Яе[-г{Ус1г]. (13.1)

Используя разложение (12.4) для (f ) получим

.(-)=... + 2а. £ +(2л,5 -)1+ ... 3.2,

Подставляя (13.2) в (13.1) и применяя теорему о вычетах, находим

L Re [- f 2т (2 Лб - )],

т. е.

L = - Re (2лфУ ,Л2). (13.3)

Момент может быть вычислен по формуле (13.3), если известно разложение (12.3) комплексной скорости, точнее, если известен коэффициент Лз в этом разложении. Часто, однако, удобно пользоваться разложением отображающей функции Z = fit,) в окрестности бесконечно далекой точки. Это разлол<е-кие имеет вид

(13.4)

z=kt, + ko + + + ...

Перейдя в интеграле (13.1) к переменной , придем к выражению для момента через интеграл по контуру в плоскости t,

= H-T(0{yd]. (13.5)

Для вычисления этого интеграла надо получить разложение подынтегральной функции, чтобы найти коэффициент (вычет)

при Используя выражение (7.8) для Wit,) и разложение

(13.4), находим

dl 1

= {K + ko + Y+ )

(13.6)

+ ...

Имея (13.6) и (13.7), получим разложение подынтегральной функции

(?) {чУж = + о + [2-. + 2,t;L -

Применив теорему о вычета.х к интегралу (13.5), найдем момент L:

(13.8)

Вырал<ение в круглы.х скобках вещественно, поэтому формула для момента окончательно примет вид

L = Re[-~k,pvJ-2mkk,pvl]. (13.9)

§ 14. ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ

Пусть в плоскости X, у мы имеем отрезок [-а, а], расположенный вдоль оси X. На этот отрезок под углом а набегает поступательный поток, скорость которого в бесконечности равна Vcc.

Нам известно решение (g) задачи об обтекании круглого цилиндра. Чтобы воспользоваться им, надо знать конформное отображение внешности круга на внешность отрезка [-а, а]. Преобразование Жуковского

= f + (14.1)

переводит круг единичного радиуса в плоскости в отрезок прямой плоскости Z = Xiy (рис. 29). Действительно, на окружности R = 1 имеем t, = е. Подставив эти значения g в (14.1), получим

2 = .V + iy == Y (е° + ~) = cos 6; (14.2)

л; = а cos 9, г/ = 0, (14.3)

т. е. окружность переходит в дважды пробегаемый отрезок [-а, а] оси X (верхняя полуокружность переходит в верхний берег разреза, нижняя - в нижний).

Получим преобразование, обратное (14.1), т. е. функцию t = £(2). Согласно (14.1)

(14.4)