также проходит через точку В. В силу конформности преобразования окружность L2 будет пересекать вещественную ось пол тем же углом, что и Li, т. е, Lj и Lj будут касаться друг друга Б точке В\ Отсюда следует, что центр окружности лежит на прямой BG{.

Покажем, что луч ОС является отражением луча OG, относительно мнимой оси, Проведем перпендикуляры G[D[ и G,D,

od\ od,

к вещественной оси и докажем, что -у-т , . Из рис. 32 ВИДНО, что

0D{ BD[ - с = SC; -с (15.14)

ОД; = с-50;=с-увС. (15.15)

Так как треугольники BG\D\ и BGD подобны треугольнику BFO, то

(15.16) (15.17)

(15.18)

gd g.d!, fo k

в d\ в d. OB с Отсюда

Аналогично

При преобразовании инверсии вещественная ось переходит сама в себя, при этом точки пересечения С\ и окружностей А, и

являются соответственными, т. е. ОС = -р-. Таким образом.

ОкОг с -I- - * + с 0{d;

Отсюда следуют симметричность расположения лучей 0G\ и QG\ относительно мнимой оси и способ графического построения окружности La,

Каждой точке С= 15к окружности L\ будет соответство-

вать точка j окружности Z,;.

Если провести из начала координат под некоторым углом ф вектор до пересечения с окружностью L\, а затем - под углом (-ф) вектор 1, до пересечения с окружностью La и прибавить второй вектор к первому, то получим некоторую точку Р

профиля Жуковского (рис. 32, б) г = -f -f . По ряду

точек мы легко сможем вычертить весь профиль.

В. Решение задачи об обтекании профилей Жуковского

Комплексный потенциал обтекания круглого цилиндра радиуса R в плоскости имеет вид

r(ei) = A:y?i++ln?, (15.20)

Чтобы из (15.20) получить комплексный потенциал w{z) обтекания профиля Жуковского, мы должны: 1) выразить через

z; 2) найти =4l- ; 3) определить циркуляцию Г при по-

мощи постулата Чаплыгина - Жуковского (профили Жуковского имеют одну острую кромку).

Согласно (15.12)

откуда с учетом (15.11)

= i- (2 -f л/z - 4с2) - {ki - ге~ ) . (15.21)

Из формулы (15.12) следует, что й=- =1.Для циркуля-

ции г, исходя из постулата Чаплыгина - Жуковского, была получена формула (9.9). В нашем случае аргумент 9о в плоскости 5i точки В, в которую переходит острая кромка профиля, равен (-у)- С учетом выражения для R из (9.9) получим

r = 4n/?usin(---a) =

= -4n(VM + e)sin(a-f(15.22)

Подставляя (15.21), (15.22) в (15.20), получим окончательный вид комплексного потенциала обтекания профиля Жуковского

W (г) = I и , I е

\ (/ + л]г - Ас) - [ki - ее )] +

+

+ 2i (V?T + е) sin (а + I) I и I X

X In [(/ + V - 4cO - {ki - ее )] . (15.23)

Те профили, у которых угол между верхней и нижней касательными в задней острой кромке мал, не являются прочными (у профиля Жуковского соответствующий угол вообще равен нулю). Поэтому вместо них рассматривают так называемые обобщенные профили Жуковского*. Для их построения используют преобразование Кармана - Треффтца

г - ас 2 + ас

(15.24)

Если а =

2я-в

то в результате преобразования

(15.24) окружность плоскости перейдет в профиль плоскости 2, у которого угол между касательными в задней кромке равен б (см. рис. 27). Если а = 2, то получим преобразование Жуковского.

Наряду с преобразованиями (15.24) для построения оолее сложных профилей используются преобразования вида

2 = CH-f -l-f+ f

(преобразования Мизеса).

§ 16. ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ. МЕТОД НУЖИНА

В предыдущих параграфах было рассмотрено обтекание нескольких типов контуров (эллипс, пластинка, профили Жуковского), для которых конформное преобразование внешности профиля во внешность круга найдено точно. Для расчета обтекания профиля произвольной формы имеются различные методы, использующие идею приближенного конформного отображения внешности заданного профиля на внешность круга (методы Тео-дорсена, Симонова, Серебрийского, Нужнна). В настоящем

* Н. Е. Жуковский предложил способ геометрического построения подобных профилен. Он назвал их профиля.ми типа Антуанетт .