параграфе будет рассмотрен метод приближенного построения конформного отображения внешности заданного контура на внешность круга, предложенный С. Г. Нужиным в 1947 г. Для этого метода доказана сходимость процедуры последовательных приближений.

Пусть в плоскости Z задан профиль / (рис. 33). Отметим точки Л и S, наиболее удаленные друг от друга. Введем систему координат таким образом, что ось х будет направлена по хорде АВ, начало координат расположим в ее середине.

Пусть уравнения верхней и нижней частей профиля

Ув = уАх), У = уАх)- (16.1)

Прн построении функции 2 = /(), осушествляюшей отображение внешности профиля (16.1) на внешность единичного круга в

Рис. 33.

плоскости , будем иметь в виду, что бесконечные точки в плоскостях 2 и соответствуют друг другу и ~

>0.

Будем искать функцию г = f{t,) в виде ряда

г=/(а = А + *о +

(16.2)

Здесь k=

dz dt,

Sn .. .

- вешественное положительное чис>ло. Пусть \n = an + ibn (rt-0, 1, 2, ...). (16.3)

Подставляя (16.3) в (16.2), учитывая, что в плоскости t, на окружности / единичного радиуса £ = е, получаем

z = x-{-iy = k (cos 9 -f i sin 6) + Co -f- ibo +

+ ЕГ-1 {an + ibn){cosnQ-ismnQ). (16.4)

Отсюда

x = ao + {k + ai) cos6 + 6i sin 6 -f 9 (flnCOsnO -f bs innQ),

JL (16.5) y = bo-\- biCosQ + {k - Ui)sin6 -f Z =2 ( cos 9 - a s innd).

При изменении 6 от О до 2п точка с координатами х и у должна описывать контур / в плоскости 2, Нужно иайти такие

коэффициенты k, а и bn, чтобы формулы (16.5) были параметрическими уравнениями заданного профиля. Задача о нахождении коэффициентов разложений (16.4) и (16.5) решается приближенно.

Здесь нужно учесть, что для любого метода последовательных приближений очень существен выбор нулевого приближения.

В методе Нужина за нулевое приближение была принята функция Жуковского

2 = P>(S) = -(S + j). (16.6)

которая отображает внешность круга на внешность отрезка [-а, а]. Согласно (16.6)

л:(0) = асо5е, г/(о> = 0. (16.7)

Формула (16.7) устанавливает соответствие между х w Q. Если 9 меняется от О до л, имеем верхний берег разреза, если 9 меняется от л до 2я, - нижний.

Сопоставляя (16.7) с (16.4) и (16.5), получаем

ь(ш 3. мй) о />(0) - п мй) ± к - 2 . о о 12

6(0)= о, af = 0, bf=Q (rt = 2, 3, ...).

Для того чтобы в следующем приближении учесть толщину профиля, в формулах (16.1) заменяют х на л:<° из (16.7). Тогда в первом приближении будем иметь

1/1 = i/a ( cos 9), О<0<я,

= г/ (а cos 9), я<0<2л.

Г и (а cos 9), 9 е [О, л],

у мв)={;oil (16.9)

(1) ia\ - i

, (а cos 9), 9 е [я, 2я]. Функцию г/< (9) можно разложить в ряд Фурье:

yd) (9) =+ 2]°° Да( со8/ге + р(,1>5Шп9). (16.10)

Ряд (16.10) может быть использован для нахождения в первом приближении коэффициентов разложений (16.5).

Запишем (16.5) для первого приближения; дО) = а() + (fe() + а<)) cos 9 + б* sin 9 +

+ ЕГ-2 К cos 6 + i>(J> sin пб), (16.11)

yd) = -f COS 9 + (/feC) - a()) sin 9 +

+ Zr-2(*n cosrt9-a()sinrte). (16.12) Сравнивая (16.10) и (16.12), получим

2 o 1 i % > (16.13)

p(/) = й< - a<), = (rt = 2, 3, ...).

Из (16.13) видно, что у нас нет данных для определения а*, и /г<> (а<, =/г< - Укажем условия, из которых их можно найти. Подставляя (16.13) в (16.11), будем иметь

хО) = а(1) + (2й(> - р<>) cos 9 + а/ sin 9 +

-fZr=2(-Pn cosn0 + a()sinrt9). (16.14)

Из выбора системы координат следует, что в любом приближении должно быть

ХА = х ,1 = - а, Хв = Хт = а. (16.15)

При этом в первом приближении точкам Хща = Хв и Xmin==Xj соответствуют значения 0 и 9<j, которые не равны значениям 05 = 0 и 9у1 = л. (При хорошем выборе нулевого приближения 0* и 9* будут близки к величинам О и я.) Из равенства

= 0 (16.16)

получим

80) = 0(j> е* ), 9() = 90)(feO)) (16.17)

(при дифференцировании (16.14) коэффициент aj, исчезает, неизвестным остается лишь /г ).

Подставим экстремальные значения 9 в (16.14) и образуем выражение

<ax( *)-5J.in = 2а. (16.18)

Из (16.18) находим численно Потом из любого равенства (16.15) найдем а*, . Тогда все коэффициенты разложения (16.2) будут определены, т. е. нам будет известна функция

2 = ЯЧ?). (16.19)