ГЛАВА Xin

ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА

В этой главе рассматривается задача об обтекании тонкого крылового профиля потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Предположение о тонкости профиля позволяет сделать ряд существенных упрощений в общей постановке задачи.

§ 1. ПОНЯТИЕ ТОНКОГО КРЫЛА И УСЛОВИЯ ОБТЕКАНИЯ ДЛЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ

Крыло будем называть тонким, если, во-первых, мало отношение толщины крыла к длине его хорды 2а и, во-вторых, мал угол между направлением касательной в любой точке профиля и хордой. Кроме того, будем считать, что угол между направлением скорости и направлением хорды (угол атаки) мал.

Выберем систему координат х, у так, чтобы скорость V на бесконечности была параллельна оси х, и поместим начало координат в середину хорды профиля. Пусть

г/, = 3,(х), j/h = 2(-v)

(1.1)

- уравнения верхней и нижней поверхностей крыла. Для тонкого профиля должны быть выполнены следующие неравенства:

< 1,

< 1,

2а d2 (х)

< 1,

< 1.

(1.2)

Заметим, что обычные профили, с которыми приходится иметь дело при дозвуковых скоростях полета, имеют закругленную переднюю кромку и не являются тонкими в смысле данного определения. Поэтому следует иметь в виду, что решение, построенное с учетом упрощений (1.2), не будет годиться в окрестности носика. Кроме того, исключаются из рассмотрения задачи об обтекании профилей под большими углами атаки.

Кроме системы координат хОу введем скрепленную с профилем систему координат х*Оу*, направив ось х* по хорде профиля (-а, а). Угол между направлением скорости V оси Ох и хордой оси Ох* есть угол атаки а (рис. 34).

Пусть

у:=згхп, y:=3rjx*) (1.3)

- уравнения профиля в этой системе координат. Учитывая связь между х, у и х*, у*

х* = ,v cos а - г/sin а, г/* = .v sin а--г/cos а

и малость угла а, имеем

х=х, уха + у. (1.4)

Уравнения профиля (1.3) в системе координат х, у q учето.м (1.4) примут вид

ха + в = в (х), ха 4- у = (х),

г/в = в(л-)-ах, у, = дг (х)-ах. (1.5)

Перейдем теперь к рассмотрению обшей постановки задачи обтекания и тех упрощений, которые могут быть сделаны в ней в случае тонкого профиля. Как было установлено ранее, задача об обтекании профиля будет решена, если найдена функция w{z), удовлетворяющая условиям на бесконечности, условиям обтекания профиля (сформулированным для функции г) или ф) и постулату Чаплыгина -

Жуковского. <i=Ilf-f) а;

Представим комплексный потенциал ш(г) в виде

w{z)=Vz + w(z), (1.6) Рис.34.

где Vz - комплексный потенциал поступательного потока, имеющего скорость V, а w[z) -комплексный потенциал возмущений.

Очевидно, что на бесконечности

= 0.

(1.7)

(1.8)

Учитывая определение комплексного потенциала

w (г) = Ф (х, у) + гф {х, у) и (1.6), можем написать

Ф {х, у) = Vx + ф (х, у),

{х, y)=Vy + ix, у).

Здесь ф, ф-потенциал скорости и функция тока возмущенного потока. Чтобы решить задачу об обтекании тонкого профиля, достаточно найти w{z}. Получим условие, которому должна удовлетворять функция ф. Поскольку контур крыла S должен являться линией тока, то, не ограничивая общности, можно положить

Ф1 = 0. (1.9)

Подставляя (1.5) и (1.8) в (1.9), получаем для верхней и нижней частей профиля

fix, у = -У{ГАх)-ах),

fix, yn) = -ViAx)-ax). (-

Учитывая, что тонкое крыло вносят в поток малые возмущения, разложим функции (х, i/в) и ур{х,у ) в ряд Тейлора по степеням ув и г/н в окрестности г/в = г/н = 0:

{х, У ) = Ф(л:, -0)4-

(1.11)

Уи+ ...

Подставляя (1.11) в (1.10) и ограничиваясь членами первого порядка малости, получаем условие обтекания для функции тока {х, у) в виде

iix, +0} = -У{ГАх)-ах),

11)(.V, -0)~V{TAx)~ax). (-

Таким образом, задача об отыскании w{z) вне профиля по заданным значениям (х,у) на его контуре для случая тонкого профиля может быть сведена к задаче об отыскании w{z) вне разреза (-а, а) по заданным значениям (1.12) для функции г} ка разрезе. Прн этом должны быть удовлетворены условия на бесконечности (1.7) и постулат Чаплыгина - Жуковского.

Получим теперь условия обтекания, выраженные через компоненты скорости. Представим Vx(x,y), Vy(x,y) в виде

x=V+<> у-К. (1-13)

где v, Vy - скорости возмущений. Учитывая, что на контуре Vy = Vxig, можем записать

(1.14)

Разлагая функции v = v(х, у) и = (х, г/ ) в ряд Тейлора по степеням у и у в окрестности Ув = У = 0 и ограничиваясь в (1.14) малыми первого порядка малости, получаем условия обтекания в виде

КС. +0)=к(-а),

(1.15)

Таким образом, условие обтекания тонкого профиля может быть записано через скорости на верхней и нижней сторонах разреза (-а, а).