§ 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ МЕТОДОМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ

БудехМ искать комплексный потенциал обтекания w{z) в виде (1.6).

Комплексная скорость возм\шенного потока - -tv. Очевидно, что на бесконечности выполнено условие

= 0. (2.1)

Задача состоит в на.хожденни функции w[z), удовлетворяю-шей условию (2.1) на бесконечности, условиям обтекания и постулату Чаплыгина - Жуковского. Условия обтекания, записанные для функции тока, имеют вид (1.12), а для компонентьз скорости t) -(1.15). Как было показано в § 1, эти условия записываются на верхнем и нижнем берегах разреза (-а, а).

Перейдем от комплексного неременного z к комплексному переменному , используя преобразование Жуковского

г = г($) = (? + ). (2.2)

Это преобразование переводит внешность единичного круга в плоскости во внешность разреза (-а, а) в плоскости z. Положим

w{z)==w{zm = W{l). (2.3)

Будем искать функцию W(I), определенную во внешности единичного круга в плоскости удовлетворяющую условию на бесконечности

= 0 ,2.4,

И соответствующему условию на окружности единичного радиуса. Запишем это условие. Положим = ре и введем функции Ф(р, 9), Ч{р, 0) такие, что

Г(С) = Ф(р, 9) + /Ч(р, 9). (2.5)

Условия обтекания для функции тока возмущенного течения f(x,y) записываются на разрезе (-а,--а). Этому соответствует задание значений функции V(p, 0) на окружности р = 1. Учитывая, что f {х, у) = 0), получаем условие для Ч(р, 9) на окружности р = 1 в виде

Г - 1/[.3- (a cos 9) - аа cos 9], 0<9<я, iO- t*)! V/[(acos9)-aacos9j, я<0<2я.

Введем функцию

/(е) =

/ (ясозВ)

Г (а cos 9)

о<е<я,

я<9<2я.

(2.7)

Тогда

ImW (?) = al/(acose-f(e)).

(2.8)

Функцию Wit,), заданную во внешности круга р = 1 и удовлет-воряюшую условиям (2.4) и (2.6), будем искать в виде

где Сп = йп + ibn. Из (2.9) получим

Ф (р, 6) = 6 + Yl=o ЧГ ( cos п% + 6 sin пЩ,

=0 р

(2.10)

(2.11) (2.12)

W (р, 9) = - In р + Yl (- sin О + 6 cos nQ). На окружности р = 1 будем иметь

ld, 0)= Zr=o(* cos 9 -a sinn9). Сопоставляя (2.8) и (2.11), получаем

Zr=o cos 9 - sin /гЭ) = aV (а cos 9 - / (9)). Разложим функцию /(9) в ряд Фурье:

/ (6) = ЕГ=о cos /гВ + р sin п9) и подставим этот ряд в (2.12). Тогда получим

Z Г=о cos 9 - а sin nO) =

= aV а cos 9 - 2] ( cos п9 + р sin /г9) , Из последнего уравнения найдем коэффициенты а , 6 :

а = Va% /г > 1,

6о=- 1ао. 6i = aF(a -а,), й =-aVa , п>2.

Для определения Г воспользуемся постулатом Чаплыгина - Жуковского, согласно которому скорость в задней кромке профиля (2 = а) должна быть конечной, и, следовательно, в этой

точке должна быть конечной производная- dqp йФ 1 йФ

в силу того, что

de dx dQ

dd a sin e

в задней кромке, которой соответствует 6 = 0, должно быть выполнено условие

=0. (2.13)

6 = 0

Воспользуемся формулой (2.10) для Ф(р, 9) и запишем значе-ния производной на окружности р=1:

= it- + > (- sin п9 + nba COS n9).

Отсюда, учитывая (2,13), находим оставшуюся до сих пор не определенной циркуляцию Г:

Г = -2я ЕГ=о -Таким образом, оказываются известными все коэффициенты, входяшие в разложение (2.9), для функ- у

цни Wd).

Замечание. Тригонометрические X ряды в ряде случаев можно просуммиро- вать и получить решение в замкнутом виде. Однако решение в замкнутом виде, как показано ниже, можно получить и рнс. 35.

сразу.

§ 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЯ С НУЛЕВОЙ

ТОЛЩИНОЙ

В этом и следующих параграфах излагается решение задачи обтекания тонкого профиля по методу Л. И. Седова.

Заменим профиль его средней линией и рассмотрим задачу обтекания дуги у - (х) (рис. 35). В этом случае г/* == г/* = = y*(x) и {х) = у*{х)-ах (см. (1.3), (1.5)).

Будем искать комплексную скорость возмущений= = v - ivy, удовлетворяющую на бесконечности условию

и на контуре условиям (1.15), которые теперь запишем в виде

Вместо

-j рассмотрим вспомогательную функцию

(3.2)

(3.3)