Поскольку при рассмотрении произвольного тонкого профиля складываются скорости возмущений, соответствующие обтеканию профиля без толщины и обтеканию симметричного профиля, то складываются и возмущения давления р, а следовательно, и подъемные силы. Симметричный профиль при бесциркуляционном обтекании имеет нулевую подъемную силу. Поэтому произвольный тонкий профиль имеет такую же подъемную силу, как и профиль без толщины, проведенный по его средней линии.

ГЛАВА XIV

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Течение называется осесимметричным, если существует такая прямая /, что во всех плоскостях, проходящих через /, картина течения одинакова и траектории жидкой частицы лежат в полуплоскостях, проходящих через /. С осесимметричными течениями мы часто имеем дело на практике: например, при изучении течений в трубах и каналах, а также при обтекании тел вращения без угла атаки.

Осесимметричные течения могут описываться как в цилиндрических г, ф, 2, так и в сферических г, 9, К координатах. В цилиндрических координатах в случае осесимметричного течения все гидродинамические величины зависят только от г и z и не зависят от ф, а в сферических координатах они зависят от г и 9 и не зависят от Я,.

§ I. ИСТОЧНИКИ в ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим сферически-симметричное течение от источника обильности q, помещенного в начале координат. Такое течение представляет собой частный случай осесимметричного (все гидродинамические величины функции только г). Поскольку жидкость несжимаемая, то уравнение неразрывности во всех точках, не совпадающих с началом координат, имеет вид divv = 0. Поскольку течение безвихревое, то v = grad ф и потенциал скоростей ф удовлетворяет уравнению Лапласа.

В сферических координатах выражение для divv имеет вид (см. (4.21) гл. II)

V = {i ivrr sin 9) -f {v,r sin 9) + A (,,). (ц)

Уравнение для потенциала скоростей получим, подставляя выражение для компонент скорости в этих координатах

Эф 1 (Эф 1 дт

= в=-Ж -=7ЖёЖ (1-2)

в уравнение неразрывности

7 {4f sin 9 1) + l(sin 91) + I, 1) } = 0.

(1.3) 187

в случае сферически-симметричного течения ср = (fir), поэтому из уравнения Лапласа (1.3) следует, что

1(1)- .

откуда, интегрируя, получаем ф=---[-С].

Так как потенциал скоростей определен с точностью до про> извольной постоянной, не ограничивая общности, можно считать, что С] = О, т. е.

Ф=--7- (1.4)

Зная ф, можем вычислить проекции скорости на оси координат

fr = . в = 0, u = 0. (1.5)

Рассмотрим сферу радиуса г с центром в начале координат. Выразим постоянную С через обильность источника д. Обильность источника есть количество жидкости, протекающей через поверхность сферы в единицу времени. Очевидно, что

g = 4nrVr = 4nC и С =

Тогда потенциал скоростей в случае течения от источника, помещенного в начале координат, запишется в виде

Ф = -1. (1.6)

Замечание 1. Если источник помещен не в начале координат, а в точке с декартовыми координатами а, Ь, с, то

*Р An V(A- - а) + (у- Ь) -f (2 - cY

Замечание 2. Потенциал скоростей - является

решением уравнения Лапласа во всех точках, кроме точки г = 0.

Поставим вопрос, какому уравнению удовлетворяет этот потенциал в точке г = 0. Вычислим расход жидкости через любую поверхность, охватывающую начало координат:

Используя формулу Гаусса - Остроградского, имеем

=555афт.

Последнее преобразование носит формальный характер, так как функция ф и ее производные разрывны при г = 0. Таким обра*