Очевидно, что первое слагаемое есть потенциал поступательного

потока со скоростью V, а второе - потенциал диполя с моментом М =-2л;?з( .

Таким образом, обтекание сферы может быть представлено в виде наложения двух таких течений. Если сфера неподвижна, то м = О и

Ф= V(r-f ljcosG. (3.16)

Если жидкость на бесконечности покоится, то V = О и

Ф=- созе. (3.17)

Изучим распределение скоростей на поверхности неподвижной сферы (м = 0). Из (3.16) имеем

Vr==v[l --!)cosQ, e=-K(l +-gr)sine.

На поверхности сферы

VrlRO, иекя = -4 Vsine. (3.18)

Максимальное значение величины скорости на поверхности сфе-3

ры равно Y V, оно достигается в точках 9 = ± л/2.

Напомним, что в случае обтекания бесконечного цилиндра потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости максимальное значение скорости на поверхности цилиндра равно 2V.

Из интеграла Бернулли

+ т = + -

2 р 2 р

имеем

-(.-4- ).

Из симметрии распределения давлений следует, что главный вектор всех сил давления равен нулю. В этом заключается парадокс Даламбера в случае обтекания сферы потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости.

§ 4. ФУНКЦИЯ ТОКА ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ

При рассмотрении осесимметричных течений удобно использовать цилиндрические координаты. В цилиндрических координатах уравнение неразрывности имеет вид (см. (4.16) гл. И)

{9v,) + 4o,+(9v,) =0. (4.1)

Lap i> дв 0 дг

в осесимметричном течении, если ось симметрии принята за ось Z, все гидродинамические величины не зависят от 9. Поэтому в этом случае из (4.1) имеем

(Р0 + -(рс.) = 0.

Эр--Р , -gj..-- (4.2)

Рассмотрим выражение pvpdz - ригр- Вследствие (4.2) оно является полным дифференциалом некоторой функции {p,z)

d\\) = pVpdz - pVzdp. (4.3)

Но по определению полного дифференциала

Поэтому

d = dp +

д-ф dz

(4.4)

(4.5)

р oz Р (Эр

Функцию Ир(р,г), существование которой является следствием уравнения неразрывности и производные от которой по координатам связаны с компонентами скорости соотношениями (4.5), называют функцией тока для осесимметричного течения.

Так же как и в плоском случае, функция тока обладает двумя характерными свойствами.

1. Функция тока постоянна на линии тока. Действительно, в случае осесимметричного течения уравнение линий тока имеет вид

dp dz

Рис. 40.

Отсюда следует, что на линип тока Vpdz - Vzdp = 0, т. е. d** = О и 1{) = const.

2. Через aj) можно выразить расход жидкости. Подсчитаем расход жидкости, т. е. объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, полученную вращением кривой АВ вокруг оси 2 (рис. 40) :

Q = J J и d5 = J 5 V . п flf5.

(4.6)

Здесь n - внешняя нормаль к дуге АВ.

Учитывая, что в цилиндрических координатах векторы v и п имеют соответственно проекции Vp, О, и п. О, п, перепишем (4.6) в виде

Q=\\ (СрМр + Vztiz) dS. s

Поскольку dS = pdQ dl, то

Q= ( 5 P (Ур р + г г) dl) flfe = 2lt p (Upttp + у л) d .

Так как p = 57> г=~ f выражение для Q можно записать в виде

Q = 2я J р (Ур flfz - t) dp) = 2л 5 dij, = 2л (olB - a)).

Очевидно, что если контур АВ замкнутый, то Q = 0.

Если движение потенциальное, то существует потенциал скоростей у = §га(1ф. В цилиндрических координатах

. f. .-It -f ( >

причем для течения с осевой симметрией Vg = 0. Из (4.7) и (4.5) видно, что производные функций aj) и ф связаны следующими соотнощениями:

дц) 1 (Эг) (Эф 1 (Эг) /А

(Эр 717 ~д7~~ Jlf

Заметим, что (4.8) отличаются от условий Коши - Римана, которые имели место в плоской задаче.

Запишем теперь уравнение для функций ф и aj). Сначала продифференцируем первое из условий (4.8) по z, второе по р и вычтем одно из другого:

др + дг р (Эр (-

Уравнение (4.9) есть уравнение для функции тока aj) в случае осесимметричных течений. Это уравнение отличается от уравнения Лапласа, которому удовлетворяла функция тока в плоском случае. Теперь умножим соотношения (4.8) на р, затем первое из них продифференцируем по р, а второе по г и сложим:

Уравнение (4.10) есть уравнение для потенциала скоростей в случае осесимметричных течений. Оно представляет собой уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических координатах.

Заметим, что если известна одна из функций ф или ф, то вычисление второй из них сводится к квадратуре. Действительно, если известен потенциал скорости ф(р,г), то для (р,z) имеем

(4.11)