Аналогично для ф(р, z)

*=.(p.,..)+S:;,(t-ff). .,2,

Рассмотрим несколько примеров. Запишем функции тока для некоторых осесимметричных течений.

1. Поступательный поток ф = Vz. По формуле (4.П) имеем

1J3 = - F + С. Если ось потока р = О есть линия тока ij5 = О, V

то с = о и aj) = - р2.

2. Течение от источника ф=---L ---\i- Оче-

4я г 4я Vp + z

видно, что

Эф д р Эф q Z

Эр 4я (л/р + г) дг 4я (л/р + )3

Используя второе из соотношений (4.8), имеем - Л

4я (л/р + г)

===-3. Отсюда

Эф Эр

., = --%= + /(г). 4я Vp + 2

Вычисляя производную от oj) по 2, получаем Эф <7 р2 1 Э/

Эг 4я (Vp + zf dz Но на основании первого из равенств (4.8) Р. откуда

следует, что - = 0, т. е. f (z) = С = const.

Таким образом, функция тока в случае течения от источника будет

от М Z М д / \ \ 3. Течение от диполя: ф =---=--1 , 1

4я 4я дг \ Vp + J

Запишем выражение для -, используя первое равенство (4.8):

Эф JWp Эf 1 f Э 1 \

дг 4я Эр дг л/рЧ ~ Эг I 4я Эр Vp + z ) Отсюда будем иметь

М д 1 , ( / \

р- ,- +/р)-

4я Эр Vp + 2

Вычисляя производную от этой функции по р и сравнивая ее с выражением для которое можно получить исходя из

7* 195

второго соотношения (4.8), найдем, что- = 0, т. е. f(p)= const. Таким образом, функция тока для течения от диполя имеет

4я Wp + zf

(4.14)

Замечание о по стано в ке задач в случае потенциальных осесимметричных течений идеальной несжимаемой жидкости. Если ишется потенциал скоростей ф, то в случае осесимметричного течения нужно интегрировать уравнение Лапласа (4.10) с граничными условиями на поверхности тела = О и на бесконечности (если рассматривается обтекание неподвижного тела безграничным

потоком)

= 0,

дф Чг

Другими словами, задача о нахождении ф(р, z) есть задача Неймана соответственно внутренняя или внешняя в зависимости от того, бесконечна область или ограничена.

Если ишется функция токаф, то интегрируется уравнение (4.9) с граничными условиями на теле ф5 = 0 и на бесконечно-

1 дг)

сти - р дг

= 0 - - Р Р

= v.

Рис. 41.

Как уже говорилось, в отличие от плоских течений функция тока в данном случае не является гармонической функцией. С этим связано то обстоятельство, что для осесимметричных течений метод конформных отображений, столь эффективный для плоских задач, не может быть использован. Для решения задач в осесимметричном случае хорошо зарекомендовал себя метод источников и стоков, который рассматривается в следующем параграфе.

§ 5. ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. МЕТОД ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ

Рассмотрим продольное обтекание тела, полученного вращением кривой А1В вокруг оси z (рис. 41).

Идея метода источников и стоков состоит в замене рассматриваемого тела системой источников и стоков, расположенных на оси вращения. Причем одна из поверхностей тока для течения, образованного этой системой особенностей, должна совпадать с поверхностью тела вращения. Другими словами, по за-

данному телу вращения требуется подобрать распределение ис точников и стоков.

Пусть источники (и стоки) распределены на оси z непрерывно с плотностью р(0. Тогда суммарная обильность источников (и стоков), расположенных на отрезке , С + С, равна p()flf. При малом flf можно считать, что в точке расположен точечный источник обильности i()flf. Функция тока для течения от этого источника равна

O-v)

Интегрируя (5.1), получаем функцию тока для течения, образованного непрерывно распределенными по оси z источниками с плотностью р():

*>=-irS> (-v?fe?)* <=-

Наложим на этот поток поступательный поток со скоростью V, направленной вдоль оси z. Функция тока для поступательного потока

Ф2 = -Р. (5.3)

Поскольку уравнение для функции тока линейно, то для описания суммарного течения функции тока складываются:

Очевидно, что, выбирая разные р(), мы получим разные течения. Наша задача так выбрать р(), чтобы получить течение около рассматриваемого тела. Для этого, во-первых, учтем, что тело непроницаемо, и, во-вторых, что одна из поверхностей тока должна совпадать с поверхностью тела вращения.

Поскольку тело непроницаемо, должно быть выполнено условие

Гр(Ой$ = 0, (5.5)

Т. е. суммарная обильность источников (и стоков), расположенных внутри тела, должна быть равна нулю. При условии (5.5) из (5.4) имеем

2 4я Vp +(2 -

Пусть р = p(z) - уравнение контура тела. На контуре = О, так как контур тела - продолжение линии тока, которая до носика тела совпадала с осью z. Тогда можем записать

4я Зл Vp4) + (2-£H 2