Л\ы получили уравнение для нахождения [х() по известному p{z). Это интегральное уравнение Фредгольма первого рода.

Одним из возможных приближенных способов решения этого уравнения является следующий. Отрезок АВ разбивается на интервалы, в каждом из которых выбирается точка и интеграл заменяется суммой Римана

д/рЧг)-Ь (2 -

где неизвестными являются значения в точках (i = 1,

2.....п).

Заменим в (5.7) интеграл указанной суммой и потребуем, чтобы полученное уравнение выполнялось в точках z*, каждая из которых принадлежит интервалу ( = 1, 2, ..., tt). Таким образом, получим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения p(Ci):

§ 6. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Пусть тело вращения с осью, параллельной оси г, ббтекается потоком, скорость которого V на бесконечности перпендикулярна оси вращения (параллельна оси х).

Представим себе, что на оси вращения на отрезке АВ расположены непрерывным образом с плотностью \х,{1,) диполи с осями, параллельными оси х. Суммарный момент диполей, расположенных на отрезке (, t,-\-dt,), равен ц()с?, и, как и ранее, при малом dt, можно считать, что в точке расположен диполь с моментом ii{t,)dt,. Потенциал скоростей для течения от такого диполя равен

Все диполи, расположенные на АВ, образуют течение с потенциалом скоростей

-~ll(V;c+.- + (3-£)-)- -

или в цилиндрических координатах

pcosB M.(£)rfg

Как и в предыдущем случае, наложим на это течение поступательный поток, текущий со скоростью V параллельно оси х. Для

такого потока потенциал скоростей равен ф = или ф = VpcosG, а для суммарного течения

Ф=Крсозе--(

4я J

4Я )A{p + {z-lff

(6.3)

Покажем, что при определенном выборе р() поверхность тела будет поверхностью тока.

Рассмотрим уравнения линий тока в цилиндрических координатах

dp dz р d6

р г В

И запишем выражения для Ур, v, v:

р = = Fcose-- др 4я Эр

о эе 4я J,

Ц (S) dl

А (Vp + (2 - Iff

Md) dl

Эф p COS 9 Э

Эг ~ 4я Эг 1 Зл U/p + (2 -

P эе 4я iA (Vp + (2-£)) Подставив эти выражения в уравнение

(6.4)

(6.5) (6.6) (6.7)

нетрудно убедиться в том, что получим обыкновенное дифференциальное уравнение вида

% = П9, г)

(6.8)

для нахождения функции р = p(z).

Потребуем, чтобы равенство (6.8) выполнялось на поверхности тока, совпадаюшей с обтекаемым телом, уравнение контура которого имеет вид р = Ф(2:). Подставляя эту функцию в (6.8), получим интегральное уравнение для нахождения л()

dp dz

4я Эр

р. (1) dl

л (Ур + (г - Iff .

1 Э р-

Ц dl

4я дг и (Vp + (г - Iff

Здесь р = Ф (г) и == Ф (z) - известные функции.

Для решения этого уравнения на практике используется метод, изложенный в предыдущем параграфе.

§ 7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Пусть на тело вращения набегает поступательный поток со скоростью V. (Всегда можно выбрать систему координат так, чтобы вектор V лежал в плоскости х, г.) Задача состоит в интегрировании уравнения Лапласа

Аф = 0

при условиях на контуре

и на бесконечности

(Эф дх

= 0,

(7.1)

(7.2)

(7.3)

Рассматриваемую задачу можно разбить на две задачи: о продольном обтекании тела вращения потоком со скоростью Vz и о поперечном обтекании тела вращения потоком со скоростью Vx на бесконечности. Пусть ф1 - решение первой задачи, т. е. Ф1 - решение уравнения Аф1 = О, удовлетворяющее условиям

О,

дф1 дх

= 0,

0.

= Vz.

Пусть ф2 - решение второй задачи, т. е. ф2 - решение уравнения Аф2 = О, удовлетворяющее условиям

О,

d(f2

О,

дф2 дг

0.

Образуем фз = ф1 -f ф2. Нетрудно видеть, что фз удовлетворяет также уравнению Лапласа, а граничные условия имеют вид (7.2), (7.3). Поскольку решение уравнения Лапласа при заданных условиях единственно, отсюда следует, что искомый потенциал скоростей ф равен фз, т. е. равен сумме потенциалов скоростей продольного и поперечного обтеканий рассматриваемого тела соответственно со скоростями Vz и Vx на бесконечности.