Вводя сферическую систему координат по формулам

л: = г sin 9 cos Я, г/= г sin 6 sin Я, 2 = rcos6,

мон<но однородные гармонические полиномы степени п записать в виде

Unix, У. z) = rYAQ, Я).

Функция У (еД) называется поверхностной сферической, или просто сферической функцией порядка п. Очевидно, что функция Yn есть полином от cos 9, sin 9, cos Я, sin Я.

Из сказанного выше следует, что при каждом п существует 2п + 1 линейно-независимых сферических функций. Сферическая функция общего вида может быть представлена следующим образом:

У (9, Я) = аоРп (cos 9) + Z (а cos тЯ + sin ml) Рп. т (cos 9), где Рп(х) = --{х - 1) -полиномы Лежандра, а Рп,т{х)=

= {\ - х) -- присоединенные функции Лежандра.

Полагая поочередно один из коэффициентов а,- и 6/ равным единице, а остальные - нулями, получим 2п -f 1 линейно-независимых сферических функций порядка п.

При этом легко показать, что наряду с гУ (9, Я) решением уравнения Лапласа является также функция Уп(0, Я)/г+ и что всякая гармоническая функция, стремящаяся к нулю на бесконечности, может быть при достаточно больших г разложена в ряд вида

Вернемся к задаче о движении твердого тела и рассмотрим поведение ф при г -> с .

Пусть S - сфера радиуса R с центром в начале координат. Так как жидкость несжимаема и объем т тела не изменяется, то поток ее через поверхность Е должен равняться нулю, т. е.

Q=55t;,d5 = 0. (2.2)

Потенциал скоростей ф можно представить в виде (2.1), откуда

Эф А (п-Ц)Уп(9, Я) -оол

Тогда из (2.2) получим

4дЛ 5 5 у (9, Я) dS = 0. (2.4)

Чтобы (2.4) выполнялось при /? -> оо, необходимо положить А = 0. Отсюда следует, что в окрестности бесконечно удаленной точки разложение для ф имеет вид

т. е. ф при г->-оо стремится к нулю как l/r, а v = §га(1ф - как

§ 3. РАСЧЕТ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА

Рассмотрим вопрос о силовом воздействии потока на тело.

На поверхность тела со стороны жидкости действуют силы давления, приложенные к элементам поверхности S. Для главного вектора этих сил и для главного момента относительно начала координат можно записать выражения

R-JJpndS; (3.1)

L = -55p(rXn)d5, (3,2)

где n - орт внешней нормали к поверхности S; г - радиус-вектор точки поверхности относительно начала координат.

Так как жидкость у нас идеальная, несжимаемая, массовые силы отсутствуют, течение безвихревое, то можно записать интеграл Лагранжа в системе Xo,yo,Zo

-t + 4 + f = W- (3-3)

В бесконечно далекой точке скорость равна нулю и

откуда

= f{t)- = fAt).

Считая, что в бесконечно далекой точке потенциал скорости определен для неустановившихся течений с точностью до некоторой функции времени, получаем

# + + 0.4)

f-\fi{Odt. (3.5)

Опуская штрихи, можем переписать (3.4) в виде

P = P -pf-P. (3.6)

Подставив (3.6) в (3.1) и (3.2), получим

L = p\\irXn){ + )dS. (3.8)

Выражения для R и L можно также получить и из закона количества движения и закона момента количества движения.

Возьмем произвольную неподвижную в пространстве поверхность S, охватывающую поверхность S. Количество движения К жидкости, заключенной в объеме т между поверхностями 5 и 2, равно

К = р 555vdT = p5JJ §га(1фЛ. (3.9)

Используя формулу Гаусса - Остроградского, приведем К к виду

К = р J J фпй5 -р J J фп5. (3.10)

Применяя закон количества движения к массе жидкости в объеме т, будем иметь

= R-R. (3.11)

где R - главный век-тор сил, приложенных к поверхности S со стороны жидкости, находящейся вне т. Отсюда

= (3.12)

Для R, учитывая (3.6), получаем

W = -\\pndS=p\\n(§- + )dS. (3.13)

Количество движения частиц жидкости, находящихся в объеме т, меняется со временем. Часть количества движения переносится через поверхность S за счет жидкости, втекающей (вытекающей) через эту поверхность. Поэтому суммарное изменение за время dt количества движения жидкости в объеме т равно

р 5 5 фп rf5 - р J J фп dSl + Р 5 5 yvn dS dt. (3.14)

L S