Последнее слагаемое в (3.14) соответствует изменению количества движения за счет жидкости, которая втекла в объем т или вытекла из него за время dt через поверхность 2. Таким образом,

= 5 S РФП5 - 5 5 РФП + 5 5 pyv.dS. (3.15) s s z

Подставляя (3.13) и (3.15) в (3.12), получим

R-pSS (t + )s-iH +

-f 55p$nd5-55pvt/,dS. (3.16)

Так как поверхность E неподвижна, то J J РФП dS = J J pn 4 dS, поэтому

55p$nds + p55(n-f-vc; )d5. (3.17)

Учитывая, что на 2 при больших R потенциал ф имеет порядок а у -порядок получаем, что при R-> оо интеграл по 2 в (3.17) будет стремиться к нулю. Таким образом, устремляя R к бесконечности, находим, что сила, с которой действует безграничная жидкость на тело, такова:

RJJpcpndS. (3.18)

Теперь получим формулу для главного момента сил давлений, приложенных к телу. Если I - момент количества движения жидкости в объеме т, L и V - главные моменты сил давлений, которые действуют на поверхности S и 2, то закон моментов запишется в виде

- = L-L. (3.19)

Согласно определению

= Р S И Р S S S >

Применяя формулу Гаусса - Остроградского, получаем

1 = Р S S Ф (г X п) dS - р 5 5 ф (г X п) dS. (3.20)

Вместо (3.12) будем иметь

L = L-4. (3.21)

Выражения для V и будут аналогичны выражениям (3.13) и (3.15):

L = p55(rXn)( + )d5. (3.22)

= -55рф(гХп) rfS-5Jp9(rXn) dS+ \\9{rXv)vndS.

Учитывая неподвижность 2 в пространстве, приходим к формуле, аналогичной (3.17); затем, устремляя R к бесконечности, получаем окончательно

--ИрХ ) - (3.23)

§ 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ

Твердое тело под действием внешних сил движется в идеальной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Возникающее при этом движение жидкости потенщ1ально. Как было установлено выше, силы давления, действующие со стороны жидкости на тело, приводятся к главному вектору R и главному моменту L:

R = S 5 Рфп dS,

. = 55рф(гХп) dS.

Обозначим через G главный вектор количества движения, через Н - главный момент количества движения твердого тела. Внешние силы, отличные от сил давления, приводятся к главному вектору F и главному моменту Q (F и Q следует считать заданными).

Применяя закон количества движения и закон моментов количества движения к телу, движущемуся в жидкости, можем написать

f-R + F.

Подставляя в эти равенства выражения для R и L, получим d

Интегралы

Н-р55ф(гХп)5] = а. в == - р фП dS,

I = -p5S*(rXn)dS

(4.2)

(4.3) (4.4)

называются присоединенным количеством движения и присоединенным моментом количества движения соответственно. Иногда вектор G -- В называют импульсивной силой, а вектор Н -{- 1 - импульсивной парой.

Уравнения (4.2) удобнее рассматривать в подвижной системе координат, связанной с телом. Действительно, в § 1 был приведен общий вид потенциала (1.6), при этом для потенциалов ф,- были выписаны условия (1.8). В системе координат, связанной с телом, направляющие косинусы внешней нормали а, Р, Y фиксированы. Каждая из функций ф,- определяется только геометрией тела. Опираясь на соотношения (1.6) и (1.8), можно указать сравнительно простые формулы для вычисления векторов В и I. Обозначим

Тогда (1.6) перепишется в виде

Если ввести также обозначения

Bx = Bi, Ву - В2, Bz = B3,

то согласно формулам (4.3), а также (1.8) можем записать В1 = -р55фа5 = -р55ф5.

В2=-р55фМ5==-Р \\<fdS,

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)