Из (4.4) с учетом (1.8) следуют равенства

(4.9)

Формулы (4.8) и (4.9) можно объединить:

Подставим (4.6) в (4.10). Получим

BiZUhkUk. (4.12)

hk = -p\\dS а, k=l, ...,&). (4.13)

Из (4.12) следует, что все В,-, т. е. компоненты присоединенного вектора количества движения В и присоединенного вектора момента количества движения I, выражаются через Uk (т. е. компоненты скорости твердого тела uq и угловой скорости ю) и коэффициенты Я,*, определенные формулами (4.13). Эти коэффициенты, имеющие размерность массы, определяются по существу геометрией тела (в подвижной системе от времени они не зависят). Их называют присоединенными массами. Всего имеется 36 коэффициентов Xik (i, k = I, 2, ..., 6).

В действительности среди этих 36 коэффициентов различных не больше, чем 21, так как имеет место симметрия коэффициентов

k=\, .... 6, - = - .-=1. ...,6. (4-4)

Докажем это. Используя вторую формулу Грина, можем записать

Фй - ФйФ) =

в нашем случае т - объем жидкости, заключенный между поверхностью тела S и некоторой сферой Е радиуса R.

Левая часть в (4.15) равна нулю, так как все функции ф/

(Эф,

являются гармоническими. Функции ф; и на сфере соответственно имеют порядок и поэтому интеграл по поверхности 21 в (4.15) при Roo будет стремиться к нулю как -°з Таким образом, получаем

откуда следуют равенства (4.14).

Когда решены задачи об отыскании фй {k= \, 6), вычисление присоединенных масс Xik сводится к вычислению квадратур (4.13).

Запишем выражение для кинетической энергии Т жидкости, окружающей тело. Кинетическая энергия жидкости в объеме т будет равна

T, = f]\\vdx. (4.16)

Так как движение жидкости потенциальное, равенство (4.16) можно переписать в виде

На основании первой формулы Грина будем иметь

x S S

Нетрудно убедиться, что при 7? -> оо интеграл по 2 стремится к нулю, и, следовательно,

Подставляя в (4.18) формулу (4.6) для потенциала ф, получим следующее выражение для кинетической энергии жидкости:

или согласно (4.13)

Компоненты S,-, определяемые формулами (4.12), теперь можно записать в виде

Bi = , г = .... 6. (4.20)

Если рассматриваемое тело имеет плоскость симметрии, то, принимая эту плоскость за одну из координатных плоскостей, например за плоскость {х,у), можно упростить вычисление функций Bi и Т.

Действительно, в этом случае величины а = cos (га, х) и

Р= cos (га, г/) будут четными функциями, а у = cos (га, г) - нечетной функцией координаты z. При этом согласно формулам (1.8) для искомых гармонических функций на поверхности обтекаемого тела будем иметь равенства

(),=().- = .2. 6; (4.21)

где Л и Л - симметричные относительно плоскости х, у точки поверхности.

Условиям (4.21) будут удовлетворять гармонические функции ф1, ф2, фб, четные относительно переменной z, а условиям (4.22)-функции фз, ф4, ф5, нечетные относительно z. Действительно, если функция ф -четная по z, то - нечетная, а

четные функции относительно z, и, следовательно, ==

~ ff Jf Jf - четная функция по z. Аналогично рассматривается случай функции, нечетной по z.

Покажем, что в этом случае коэффициенты = Кы (1 = = 1, 2, 6; = 3, 4, 5) обращаются в нуль. Используя формулы (4.13) и вводя обозначения S и 5в для симметричных относительно плоскости X, у частей поверхности, можем написать

з=-р5Ф.5=-р55ф,5-р55ф.й5. (4.23)

Вследствие нечетности подынтегральной функции и симметрии частей поверхности 5 и 5в будем иметь

Я,з = 0. (4.24)

Совершенно аналогично получим

Я = 0, А = 4, 5; (4.25)

л = 0, / = 2,6; fe = 3,4,5.