в случае, если поверхность 5 имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (например, 5 - поверхность эллипсоида), подобным образом можно показать, что все коэффициенты hk с разными индексами обращаются в нуль.

В качестве примера рассмотрим обтекание сферы радиуса R, движущейся в жидкости со скоростью v под действием некоторой силы F, приложенной в центре шара.

Воспользуемся полученными ранее результатами. Согласно формуле (3.17) гл. XIV потенциал обтекания шара, движущегося с единичной скоростью вдоль оси г, будет

Фз=-. (4.26)

где г, в, X - сферические координаты с началом в центре шара и полярной осью, направленной по оси z. Из (4.26) следуют равенства

= cose, фзи;г = ---со5е. (4.27)

Подставив (4.27) в (4.13), найдем

л 2л

= 5 J cosesinewed?. = --ря/?з. (4.28)

Точно так же получим

Я11 = ;22 = -рл/?з. (4.29)

Последние три равенства (1.8), если перейти в них к сферическим координатам и учесть, что при этом а = sin б cos Л, р = = sin 6 sin X, у = cos 6 (нормаль к поверхности сферы направлена по радиусу), дают

О,

r-R дп

= 0, =0.

r-R дп r-R

Отсюда непосредственно следуют равенства

44 = 55 = 66=0. (4.30)

<Эф,.

r = R

И равенство

Отметим, что равенство нулю производной

нулю функции ф; на бесконечности обеспечивают равенство нулю этой функции во всем пространстве.

Далее, в силу симметрии шара молено утверждать, что все hk == О при i ф k,

Таким образом, формулы (4.12) примут вид

Bi = ipnRi, /=1,2,3;

5, = О, / = 4,5,6. ( З)

Согласно обозначениям (4.7) равенства (4.31) эквивалентны двум векторным равенствам

B = f pnRV, 1 = 0. (4.32)

В соответствии с формулами (3.18) и (3.23) получаем

L-0. <-3)

Формулы (4.33) дают главный вектор и главный момент сил, действующих со стороны жидкости на сферу. Из (4.33) непосредственно видно, что в нашем случае силы приводятся к одной равнодействующей, приложенной в центре шара. Равенство нулю главного момента можно было бы предвидеть и с самого начала вследствие симметрии задачи.

Если масса шара равна т. и на шар действует сила F, приложенная в его центре, то уравнения движения шара (4.2) можно переписать в виде

m-f 3-ря/?з =Р, или

(т + -ря7?=)=Р. (4.34)

Таким образом, движение шара происходит так, как оно происходило бы в пустоте при том, что масса шара увеличилась

на величину-д-ря/?, равную половине массы жидкости, вытесненной шаром.

ГЛАВА XVI

ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Предыдущие главы были посвящены рассмотрению течений идеальной жидкости, для которых существовал потенциал скорости ф. В этом случае v = grad ф, и поскольку для любой функции / имеет место равенство rot grad / = О, поле скоростей было безвихревым; Q = rotv = 0.

В этой главе мы будем рассматривать вихревые движения, т. е. такие движения, у которых вектор вихря во всех точках области или какой-либо ее части не равен нулю: Ш ФО.

При изучении вихревых движений приходится иметь дело с такими понятиями, как циркуляция скорости и поток вектора вихря скорости через поверхность. Из теоремы Стокса следует, что поток вихря через поверхность S равен циркуляции скорости по контуру, ограничивающему эту поверхность:

Q-ndS = {v dr).

Таким образом, циркуляция является одной из важных характеристик вихревых течений.

§ 1. ТЕОРЕМА ТОМСОНА

Прежде чем сформулировать и доказать теорему Томсона, получим один вспомогательный результат кинематического характера. Рассмотрим, как с течением времени изменяется циркуляция скорости Г, вычисляемая по контуру, состоящему все время из одних и тех же частиц жидкости (так называемому жидкому контуру). Такой контур перемещается вместе с жидкостью и может деформироваться. Очевидно, что для жидкого контура Г = Г (О-

Рассмотрим незамкнутый жидкий контур АВ в различные моменты времени. Для такого контура

V{t)=\\dr=\\xdx +Vydy + Vzdz. (1.1)

Для того чтобы составить представление об изменении Г (О, вычислим производную

Очевидно, что пределы интегрирования А н В зависят от времени t. Перейдем в интеграле к такой переменной, у которой область интегрирования не зависит от времени. Пусть AqBo - положение кривой АВ в момент времени t = to. Введем координаты Лагранжа, а именно каждую точку (частицу) М на АВ