подробно на примере первого равенства (8.5)-

dVx IfOvx dvy\ \/dvx dvz\

Введем в рассмотрение псевдовектор-вихрь скорости

dvy\ /- dVx Л.СУ Л

Q = rotv = i(-J + j(--J-f k(-J =

= Q,i + Q,j + Q,k. (8.7)

Обозначим

dvx

- мх 2\ду

<yz

ду дх

е =

- е..г- 2 Wat <9z >/

(8.8)

С учетом (8.7) и (8.8) выражение (8.6) для dl и соответственно выражения для dr] и dt, можно записать в виде

dl = [гхх1 + хул Л-хг1\: ( ? ~

--Id/.

(8.9)

= Y-zxl + e.Ti -f + у (QTi - Q,) Введем в рассмотрение квадратичную форму = I [е.Е + e.ri + 8 S= -Ь 28,Дт1 + 28 ri? + 28 ?]. (8.10)

Если занумеровать оси координат, положив i = , 12 = 11. 1з = ?. 1к~\-\ (8.10) можно записать в виде

с учетом введенных обозначе ний равенства (8.9) примут вид

-f(QXp),

dli =

Vdii

dt (/=1,2,3).

Формулы (8.11) можно записать в векторном виде dp = [gradf Ч-4(Хр)]л. Сопоставляя (8.3) и (8.12), получаем формулу Vв = Vл + ]-SiXP + gradF.

(8.11) (8.12) (8.13)

Для абсолютно твердого тела известна формула = + --о)Хр- Здесь 0) - вектор мгновенной угловой скорости, с которой твердое тело вращается относительно мгновенной оси, проходящей через полюс. В случае движения жидкой частицы мы получили более общую формулу (8.13). Слагаемое grad f обращается в нуль только тогда, когда все е, равны нулю, т. е. когда бесконечно малый объем жидкости движется как бесконечно малый объем абсолютно твердого тела.

Формула (8.13)-запись теоремы, которую иногда называют теоремой Гельмгольца.

Скорость точки сплошной среды, принадлежаией бесконечно малому объему, складывается из трех слагаемых: скорости полюса, скорости точки во враиательном движении затвердевшей жидкой частицы вокруг мгновенной оси, проходяш,ей через полюс А, с угловой скоростью о =Q =-i rot v, и скорости деформации Уд = grad F.

Если обе части равенства (8.13) умножить на dt, то теорему Гельмгольца о разложении скорости можно записать для перемещений

ЙГв = ЙГл + й?(рХР + Гд. (8.14)

Здесь й?гв = Vedt - поступательное перемещение точки В жидкой частицы; dtA = VAdt - перемещение полюса; с?фХр - перемещение точки В при повороте затвердевшей жидкой частицы

вокруг оси, проходящей через полюс, на угол й?ф = Q dt;

с?Гд = Удй/ - деформационное перемещение. Такое представление перемещения точек жидкой частицы в виде суммы перемещений затвердевшей жидкой частицы и деформации единственно.

Итак, при рассмотрении движения точек жидкой частицы оказалось необходимым ввести понятие скорости деформации Уд, являющейся потенциальным вектором:

Уд = grad F,

где F-квадратичная функция (8.10). Проекция вектора Уд

д.г = + %уЛ + 4zl = ELl 8за1й-

Здесь 28

Из (8.15) видим, что скорость деформации Уд связана с таблицей которая в силу (8.16) симметрична:

§ 9. ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ И ЕГО ИНВАРИАНТЫ

Таблица (8.17) определяет аффинный ортогональный тензор второго ранга. Действительно, вектор v - тензор первого ранга.

Совокупность величин определяет тензор второго ранга

1-. . Его всегда можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Тензор (8.17) S = е,*

есть симметричная часть тензора

дх,.

Доказательство тензорного характера величин е, можно провести и непосредственно. Имеем равенство (8.13); в нем Va, Vb - векторы, Q X Р - произведение псевдовектора Q на вектор р - также вектор. Следовательно, Уд - также вектор.

Рассмотрим скалярное произведение Уд-р. .Это произведение- скаляр, инвариант (проекция Уд на р, не зависит от системы координат). Для скалярного произведения, так как Уд = = grad F, имеем

dF , dF . dF

(9.1)

Но f(i, 2, Ез)-однородная функция второй степени; по теореме Эйлера об однородных функциях можем записать;Уд-р = = 2F. Таким образом, F- инвариант, не зависящий от системы координат.

Рассмотрим две системы координат. Пусть Еь Ег. Ез - старые координаты. El, Eg 3 ~ новые. Так как F - F, то, имея в виду (8.10), можем написать

Выразим старые координаты через новые:

E.=EL. X. ?,=ZL, ./i; (9.3)

и подставим (9.3) в правую часть (9.2):

Zm-l Е -1 mtnn ~ Sf-I тДт) (Хп=>] njn) ~

=zl,2:l,e;e;(ZL,z..w ,). (9.4)