в момент времени t частицы жидкости, находившиеся в момент to на контуре /о, образуют контур /, ограничивающий площадку о поверхности S, на которую перешли частицы с поверхности So. Но по теореме Томсона циркуляция по жидкому контуру не меняется со временем, т. е.

Г = ( уг = 0.

Следовательно, для участка а поверхности 5, учитывая формулу Стокса, получаем

JjQ-ndS = 0. (3.3)

Ввиду Произвольности а из (3.3) следует, что в любой точке поверхности выполняется (3.1), т. е. поверхность S вихревая. Действительно, допустим, что это не так и поверхность не вихревая, тогда найдется такая точка А этой поверхности, в которой йп Ф 0. По непрерывности Q # О и в некоторой области, ограничивающей эту точку. Эту область можно выбрать настолько малой, что 0.п будет сохранять тот же знак, что и в точке А. Взяв эту область за а, получим Q da =f О, что проти-

воречит (3.3).

Докажем теперь, что вихревая линия остается при движении жидкости вихревой. Пусть в момент времени жидкая кривая ЛоВо есть вихревая линия. Проведем через какую-либо точку этой линии две пересекающиеся кривые. Проведя через точки этих кривых вихревые линии, получим вихревые поверхности и . Линия пересечения ST и есть по построению вихревая линия ЛдВо- В момент времени t жидкие поверхности 5i° и перейдут в поверхности Si и Sj. По доказанному выше поверхности Si и Sj будут вихревыми. На поверхности Si будут все жидкие частицы, которые были на S\\ на S2 -все частицы, которые были на S2 . Жидкие частицы, которые принадлежали сразу двум поверхностям sT и S , опять будут принадлежать сразу двум поверхностям Si и S2. Это значит, что вихревая линия ЛоВо перешла в линию пересечения АВ вихревых поверхностей Si и Sj.

Вектор вихря в любой точке пересечения двух поверхностей Si и S2 должен лежать в касательной плоскости к каждой из поверхностей, т. е. вектор й направлен по касательной к линии пересечения АВ, поэтому линия АВ - вихревая линия.

Вторая теорема. Интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длине и не изменяется со временем.

Совокупность вихревых линий, проведенных через замкнутый контур, образует вихревую трубку. Интенсивностью вихревой трубки называют циркуляцию скорости по контуру, охватываю-

щему трубку Т = v dr. Такое понятие имеет смысл, если интенсивность (т. е. циркуляция Г) не зависит от положения контура / по длине трубки. По теореме Стокса r = Vdr =

= й 0,где а - поверхность, пересекающая вихревую трубку.

Докажем, что для всех контуров /, лежащих на поверхности трубки и охватывающих ее, интенсивность одна и та же. Пусть h и 2 -два каких-либо из таких контуров. Рассмотрим объем т, ограниченный поверхностью S, состоящий из Si, S, S2, где Si и S2 - сечения трубки, ограниченные соответственно контурами 1\ и I2, а S - часть боковой поверхности трубки, заключенная между ll и /2.

Рассмотрим поток вихря через поверхность 1 у S. Согласно теореме Гаусса - Остроградского, получим

55Q dS= J55divQdT = 0, (3.4)

так как div Q = div rot v = 0. Из (3.4) следует, что

J 5 Q dS= 5 QndS -f 5 jQ dS + 5 Jq dS = 0.

Рис. 44.

(3.5)

Поскольку Qn = 0 на поверхности E (2 - вихревая поверхность), из (3.5) имеем

55Q dS+55Q dS = 0. (3.6)

S, S,

Здесь п - внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей объем т (рис. 44). Введя ni = -ni и используя формулу Стокса, получим

JjQ dS = vdr = r2,

(3.7)

J5Q dS = (§) уйг = Г; = -Гь

где Ti и Г2 - циркуляции, вычисленные при обходе контуров h и I2 в одном направлении. Из формулы (3.6), учитывая (3.7), получим

& V dr = & V dr, Г1 = Tj,

т. е. интенсивность Г вихревой трубки постоянна по ее длине. Так как выполнены условия теоремы Томсона, то циркуляция по любому жидкому контуру не зависит от времени и, следовательно, интенсивность вихревой трубки не изменяется со временем.

§ 4. о ВОЗНИКНОВЕНИИ ВИХРЕЙ

Теорема Лагранжа о безвихревом движении жидкости и теорема Гельмгольца о сохранении вихрей справедливы при предположениях, что жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Вопрос о том, к чему приводит отказ от предположения об идеальности жидкости, будет рассмотрен в дальнейшем. В этом параграфе будет показано, что если жидкость не баротропна или массовые силы не консервативны, то вихри даже в идеальной жидкости могут возникать и уничтожаться. При доказательстве теоремы Томсона было получено равенство (1.6). Учитывая уравнения Эйлера, описывающие движение идеальной жидкости

dv 1 J -rf7- = F--gradp,

уравнение (1.6) можно переписать в виде

= F.dr-jgTadp.dr. (4.1)

Рассмотрим два случая: 1) жидкость баротропна: р = ф(р), но массовые силы не консервативны; 2) жидкость бароклинна, т. е. плотность зависит не только от давления, но и от других параметров, например, температуры, влажности (для воздуха) или от солености (для воды).

В первом случае имеем -i-grad р = gradР, и, следовательно,

( grad р dr = grad Р dr = dP = 0. Равенство (4.1) принимает вид

F . dr. (4.2)

Но правая часть (4.2)-работа силы, действующей на единицу массы, при обходе контура /. Эта работа в неконсервативном

поле, вообще говоря, не равна нулю. Следовательно, 0 и

теорема Томсона несправедлива, вихри могут возникать и могут уничтожаться.