Рассмотрим второй случай, предполагая, что массовые силы консервативны: F = -grad V, но жидкость бароклинна. В этом случае равенство (4.1) принимает вид

dV dt

~ §/ 7 р-dr=-<jdp= -iadp, (4.3)

где = -

Рассмотрим два семейства поверхностей: р = const (изобарические поверхности) и со = const (изостерические поверхности). В баротропной жидкости плотность сохраняет постоянное

значение на изобарической повер.х-ности. Следовательно, в баротропной жидкости изобарические и изостерические поверхности совпадают. В рассматриваемом же нами случае эти поверхности будут пересекаться. Четыре поверхности: со = = соо, со = соь р = Ро, р = pi образуют трубку, которая называется изобаро-изостерической.

Рассмотрим трубку, для которой Ш1 = соо + 1. Pi = Ро + 1. и контур ABCD, охватывающий эту трубку (рис. 45). Тогда

Рис. 45.

dT dt

SB /.С лО ~А

(i)dp-\ adp-X adp-X &dp = A Js Jc Jd

= -\ &dp-\ cucfp = cuo -(cuo+1) = -1. (4.4)

При другом расположении поверхностей можно получить равенство В первом случае трубка называется единичной

отрицательной, а во втором - единичной положительной изобаро-изостерической трубкой. Если контур охватывает единичных положительных трубок и Л- отрицательных, то

dT dt

(4.5)

Равенства (4.3), (4.5) составляют содержание теоремы Бьерк-

неса. Они показывают, что в бароклинной жидкости Ф О

и, следовательно, вихри в бароклинной л<идкости могут возникать и уничтожаться,

§ 5. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВИХРЯ

Получим уравнения, описывающие изменение вихря. Будем исходить из уравнений Эйлера, записанных в форме Громеки - Лэмба:

If+ grad(-)-vXrotv = F-lgradp. (5.1)

Применим к обеим частям этого равенства операцию rot. Тогда получим

~- + rot grad (Jy ~ (v X rot v) = rot F - rot - grad pj.

(5.2)

Воспользуемся теперь следующими легко проверяемыми форму-лами векторного анализа:

rot (А X В) = (В . V) А - (А V) В + В div А - А div В, (5.3) где (B.V) = (iB, + JB. + kB,).(i + j + k) =

дх I ду дг

rot(aA) = arot А-Ь gradaX А; (5.4)

rot grad В = 0; (5.5)

div rot С = 0. (5.6) Из формулы (5.5) следует, что

rot grad-у-= 0. (5.7)

Из формул (5.3) и (5.4), если положить А = у, B = rotv = ii, будем иметь

rot (у X rot у) = (Q V) V - (V V) Q + Q div v. (5.8) Из формул (5.4) и (5.5) получим

rot (- grad р) = (grad-) X grad р = - - grad рХ grad p. (5.9) Подставляя (5.7), (5.8), (5.9) в (5.2), имеем -{-(y.V)Q-(Q.V)v-Qdivy = rotF + -l-gradpXgradp. или

.g- = (Q . V) V + Й div у + rot F + grad р X grad р. (5.10)

Уравнение (5.10) называется уравнением Фридмана. Если поле массовых сил консервативно (F = -grad V) и жидкость баро тропна, то

rot F = О, grad р X grad р = ф (р) grad р X gfad р = 0.

в этом случае уравнение Фридмана приобретает вид

-(Q. V)v-Qdivv = 0. (5.11)

Если, кроме того, жидкость несжимаема (divv = 0), уравнение (5.10) запишется в виде

=(£2.V)v. (5.12)

Уравнения (5.11), (5.12) впервые были получены Гельмгольцем. Теоремы Гельмгольца можно доказать исходя из уравнения (5.11).

Уравнение Фридмана дает возможность количественно описать изменение вихря, происходящее вследствие неконсервативности массовых сил и бароклинности жидкости.

§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ ПО ВИХРЮ И ДИВЕРГЕНЦИИ

По заданному полю скорости легко найти его дивергенцию б = div V и вихрь Q = rot v. Поставим обратную задачу. Пусть заданы функции Q = Q{x,y,z) и Q = Q(x,y,z). Требуется найти поле скорости \{x,y,z), удовлетворяющее уравнениям

d\vv = Q{x,y,z); (6.1)

го1у = й(х,г/, 2). (6.2)

Очевидно, что эта система не всегда имеет решение (уравнений четыре, искомых функций три). Так как div rot v = О, то одно из необходимых условий разрешимости системы состоит в выполнении равенства

div fl = 0. (6.3)

Будем предполагать, что условие (6.3) выполнено. Система уравнений (6.1), (6.2) должна решаться при соответствующих граничных условиях. Если ищется поле скорости внутри области т, ограниченной поверхностью 5, то на этой поверхности задается нормальная составляющая скорости

Vn\sVn{M). (6.4)

Если поле скоростей отыскивается во внешней части т, то наряду с (6.4) необходимо задать скорость на бесконечности. В первом случае функция Vn{M) не может быть произвольной.

Действительно, интеграл а d5 (расход жидкости через по-

верхность) можно записать в виде

5и (М) flfS= JJJdivvdT.