Следовательно, нормальная составляющая скорости на поверхности S должна удовлетворять условию

JJt; (M)dS=555edT. (6.5)

Рассмотрим решение задачи в случае, когда жидкость занимает все пространство и покоится на бесконечности:

Voc = 0. (6.6)

Будем искать поле скорости v в виде суммы двух полей:

V = Vi +V2,

таких, что

divv, = 6, rotv, = 0, v, = 0; (I)

divV2 = 0, rOtV2 = Q, V2<x, = 0. (II)

Поскольку исходная задача линейна, сумма скоростей v = Vi -[--f-V2 будет искомым решением.

Построим сначала решение задачи (I). Будем искать скорость vi в виде

v, = gradф. (6.7)

В этом случае второе уравнение (I) удовлетворяется тождественно, а из первого уравнения получим

Таким образом, задача свелась к отысканию решения уравнения Пуассона в неограниченном пространстве.

Угадать вид решения уравнения (6.8) можно из физических соображений. Предположим, что функция Q{x,y,z) отлична от нуля только в ограниченной области т. Разобьем область т на п меньших областей т,- и положим

9 = Z;=i 9/>

где каждая из функций 9 отлична от нуля только в области Т;. Поскольку уравнение (6.8) линейное, решение его можно искать в виде суммы:

где ф(- - решение уравнения Пуассона

+ + = М.,.,* (6.10,

Положим v,) = grad и подсчитаем расход жидкости qi через поверхность сферы S, внутри которой находится область Т;:

Отсюда следует, что течение с потенциалом можно приближенно описать как течение от источника обильности <7;. Тогда можно ожидать, что

Фг (л;, y,z)i - xi%i ер (4nr,)~, (6.11)

где r\ = {x - l) + {y - T\.y-\-{z - ly, а (, т]., .) - координаты точки из области т. Подставляя (6.11) в (6.9), получаем

в правой части (6.12) стоит сумма Римана для интеграла

dl dT] dl,

поэтому можно ожидать, что решение уравнения Пуассона (6.8) имеет вид

+ 00

= -\\\dlddZ. (6.13)

- оо

Функция (6.13) называется ньютоновым потенциалом.

В курсах математической физики доказывается, что эта функция является единственным решением уравнения Пуассона (6.8), стремящимся на бесконечности к нулю, если только наложить некоторые дополнительные условия на функцию 0.

Достаточно потребовать, чтобы функция 0 была кусочно-гладкой, ограниченной и убывала на бесконечности как

2+а.

где а > О, R = л/х + + .

Таким образом, решение задачи (I) определяет вектор

+ 00

= grad ф=- grad jjj dx. (6.14)

- оо

Перейдем теперь к решению задачи (II). Ранее говорилось о том, что для любого вектора А справедливо равенство div rot А = 0. Следовательно, если искать решение задачи (П) в виде

V2 - rot А,

го первое уравнение этой задачи удовлетворяется тождественно, а второе уравнение в этом случае имеет вид

rot rot А = й. (6.15)

функцию А называют векторным потенциалом поля скорости. Используя легко проверяемое равенство

rot rot А = grad div А - ДА,

запишем уравнение (6.15) в виде

ДА -graddivA = -Q. (6.16)

Не уменьшая общности, можно считать, что div А = 0. Действительно, если div А = / # О, то, полагая Ai = А + grad ф, получаем

div А] = / -- div grad ф = / -- Дф.

Выбирая ф как решение уравнения Пуассона Дф = -/ (см. задачу (I)), получаем div Ai = О, V2 = rot А = rot Ai. Таким образом, использование векторов А и Ai для вычисления скорости V2 приведет к одинаковым результатам, и при этом div А, =0.

Итак, будем считать, что div А = 0. Тогда уравнение (6.16) примет вид

ДА = -fi. (6.17)

В проекциях на оси координат уравнение (6.17) имеет вид

ААх = -Qx, AA,j = -Qy, AAz = -Q. (6.18)

Каждое из уравнений (6.18) -уравнение Пуассона, а мы уже научились строить его решение при рассмотрении задачи (I). Таким образом, используя решение задачи (I), можно записать

оо - со

- 00

Возвращаясь к исходной задаче, получим

оо оо

= -er<\\\Tdr+-rot\\\dr. (6.20)

- оо -оо

Таким образом, поставленная задача решена, однако осталось несколько моментов, которые подлежат проверке.

1. При построении вектора А предполагалось, что div А === 0. Проверим, что полученное для А выражение (6.19) действи-

7,8* 227