V и р, а затем найти температуру Т из уравнения (1.3). Тогда для определения составляющп.х тензора напряжений и вектора потока тепла имеем следующие уравнения:

II т,-. II = - + 2 Не,-, II; (1.4)

t=gradr, (1.5)

2 Удх, c)xj-

Для отыскания решении системы (1.1) - (1,3) должны быть заданы граничные условия. Характер этих условий в различных задача.х был подробно рассмотрен в главе VII. В частности, при решении задачи об обтекании неподвижного тела с поверхностью S безграничным установившимся потоком вязкой жидкости ищутся решения системы (1.1), (1-2), удовлетворяющие условиям

vl5 = 0, vL = v, pL = p. (1.6)

§ 2. НЕОБРАТИМОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим сначала течения идеальной несжимаемой нетеплопроводной жидкости. Такие течения описываются системой уравнений

dv 1 , =F--gradp,

div v = 0.

(2.1)

Массовые силы F = F (х, у, z) известны. Пусть

v = v(x, у, г, О, р=р{х, у, Z, () (2.2)

- решения системы (2.1). Введем новые функции

у = - V (х, у, Z, - /), = р {х, у, Z, - /). (2.3)

Очевидно, что если функции (2.2)- решения системы уравнений (2.1), то функции (2.3) также будут решениями этой системы

уравнений. Действительно, = 4г Р Р свойство называется обратимостью течений идеальной жидкости, или иначе инвариантностью по отношен[1ю к обращению времени. Таким образом, еслп движение идеальной несжимаемой жидкости возмол-сно в одном направлении, то оно возможно с теми же скоростями и давлением в противоположном направлении. Докал<ем теперь, что движения вязкой лиадкостн в общем случае необратимы. Действительно, если v, р - решения системы уравнений (1.1) п (1.2), а функции v, р определены,

как и ранее, по формулам (2.3), то в силу того, что- = -,

grad р - grad р, Ду = -Ду, для функций у, р получим сн-

стему уравнений, которая не будет совпадать с исходной системой уравнений (1.1) и (1.2). Таким образом, функции v, р не являк>тся решениями уравнеинн Навье - Стокса. Обратимость течения будет иметь место только тогда, когда Av - О, т. е. v - гармоническая функция. Но практически для всех граничных задач Av ф 0.

§ 3. ЗАВИХРЕННОСТЬ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Будем исходить пз системы уравнений для вязкой несжимаемой жидкости (1.1), (1.2). Покажем, что любое решение задачи о потенциальном движении идеальной жидкости является точным решением системы уравнений (1.1), (1.2).

Действительно, если движение вязкой жидкости безвихревое,

V = grad ф. (3.1)

В силу уравнения неразрывности divv = О имеем

Аф = 0. (3.2)

Отсюда следует, что

Ду = Д grad ф = grad Дф - 0. (3.3)

Но при наличии (3.3) уравнения Навье - Стокса (1.1) совпадают с уравнениями Эйлера (2.1), т. е. решения уравнений Эйлера при предположении (3.1) являются и решениями уравнений Навье - Стокса.

Рассмотрим задачу об обтекании неподвижного тела установившимся потоком вязкой жидкости. Решение такой задачи должно удовлетворять уравнениям (1.1), (1.2) и граничным условиям (1.6).

Нельзя ли найти решение этой задачи в классе потенциальных (безвихревых) течений? Такое решение (если оно существует) должно удовлетворять уравнению (3.2) и граничным условиям (1.6). Но, как было показано ранее, решение уравнения (3.2) определяется с точностью до циркуляции при следующих условиях;

, = 0, gradфL = v< .

V,i \s =

Прн этом касательная составляющая скорости на поверхности тела будет отлична от нуля, т. е. т Is = О-

Это означает, что потенциальный поток в случае вязкой лид-кости не здовлетворяет в точках соприкосновения с твердой стенкой условию прилипания v5 = 0, т. е. класс потенциальных течений не может быть использован для решения задач об обтекании тел вязкой несл\имаемой лидкостью. Течения вязкой

жидкости в этом случае вихревые. Это второе принципиальное отличие движения вязкой жидкости ог движения идеальной жидкости.

§ 4. ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Выделим некоторый объем жидкости т с массой М, ограниченный поверхностью S. На этот объем* (массу) будут действовать объемные и поверхностные силы. Обозначим через АЛт работу объемных сил, через AAs - работу поверхностных сил за промежуток времени dt.

Вычислим работу объемных сил АЛ т. К массе pdx, на.ходя-щейся в элементе объема dx, приложена сила Fpdx. Работа этой силы при перемещении объема dx на dr = \dt равна

бЛ, = d/ р (F V) dx.

Работа за время dt сил, приложенных ко всей массе жидкости в объеме т,

ДЛ.,= Л JJJp(F-v)dT. (4.1)

Вычислим работу поверхностных сил. На площадку dS с нормалью п действует сила XndS. Работа этой силы на перемещении \dt равна dt{xn-v)dS. Отсюда

AAs = di JJt -vd5.

(4.2)

Используя формулу Коши для Хп ((3.7) гл. III) и применяя формулу Гаусса - Остроградского, находим

У) д(Ху.у) д(Хг-У

~Г л +

дг J

(4.3)

Складывая (4.1) и (4.3) и преобразуя второй интеграл, получаем

дХг дг

ду 1 ду ду дг]

)] dx + dx.

(4.4)

Для любой сплошной среды справедлив закон количества движения ((5.6) гл. III)

dt р\ дх ду дг )

* В случае месжимаемой жидкости термины объемные и массовые силы равноправны, так как р = const,