Поэтому (4.4) можно переписать в виде

AA, + AAs==dt\\\pv.dT + di \\\Ddx. (4.5)

Здесь через D обозначено выражение

) = t.-- + T,. -+ т,-. (4.6)

Преобразуем первое слагаемое в (4.5), учитывая, что для несжимаемой жидкости (р = const) объем dx не меняется:

Из (4.7) следует, что первое слагаемое в (4.5) представляет собой изменение кинетической энергии Т за время dt. Таким образом,

АЛ + AAs = dT + dt\D dx. (4.8)

Равенство (4.8) показывает, что работа, совершенная силами, приложенными к выделенной массе жидкости, лишь частично идет на изменение кинетической энергии.

Рассмотрим второе слагаемое в (4.8). Записывая скалярные произведения, входящие в (4.6), через проекции и подставляя вместо Xik их выражения через составляюш,ие тензора скоростей деформаций (аналогичные преобразования были проделаны в главе vni, § 2), получим

+(+)V(+)T

Очевидно, что величина D О и обращается в нуль только тогда, когда все компоненты тензора скоростей деформации равны нулю, т. е. когда жидкость движется как абсолютно твердое тело.

Таким образом, при движенни вязкой жидкости только часть работы, совершенной массовыми и поверхностными силами, идет на изменение кинетической энергии, а остальная часть как механическая энергия теряется (рассеивается, дисси-пирует), превращаясь в тепло. Здесь D - энергия, которая рассеивается за единицу времени в единице объема. При движении вязкой жидкости происходит диссипация механической энергии. Для идеальной жидкости D - О, так как ц = 0.

ГЛАВА XIX

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Система уравнений несжимаемой вязкой жидкости, полученная ранее, имеет вид

div V = О, = --gradp + vAv.

Отыскание точных решений этой системы существенно труднее, чем для идеальной жидкости. Почти все точные решения в ка-ко.м-то смысле получены для одио.мерных течений.

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ ОТЫСКАНИИ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Будем считать течение одномерным, если скорости параллельны некоторому направлению в пространстве; при этом в точках плоскости, перпендикулярной этому направлению, гидродинамические величины могут принимать различные значения. Выберем направление движения за направление оси х. Тогда

o, = D, = 0. (1.1)

Выпишем систему уравнений вязкой жидкости, учитывая (1.1):

= 0, (1.2)

I и ifLL= 14-V f + + l (13) dt р + I дх ду дг ) >

4£L = o, 1 = 0. (1.4)

ду dz

Из (1.2) следует, что Vx не зависит от х, из (1.4)-что р не зависит от у и Z, т. е.

Vx = Vx{y, Z, t), (1.5)

P = p{x,t). (1.6)

Учитывая (1.5), перепишем уравнение (1.3) следующим образом:

dl \ ду дг ) р дх

Левая часть (1.7) не зависит от х, следовательно, мол<ет зависеть только от времени:

f-=f(0, р = /(/),х+ /,(/). (1.8)

Таким образом, в одномерном движении давление является линейной функцией х. Функции f(t) и /(/) могут быть найдены, если в двух сечениях Хх и Х2 задано давление р, а именно

р{хх, t) = Tx{t), p{xo,t) = 3-2{t).

Тогда

др г, it) - г, (О Ар .

дх х2 - x, Ах \ !

При заданном перепаде давлений скорость отыскивается из уравнения (1.7):

Р dt д,/ + dz ) Ах (-

Уравнение (1.10) по виду совпадает с хорошо изученным уравнением теплопроводности. Неоднородное уравнение (1-10) может быть сведено к однородному заменой

Vx = v,--\ fit) dt.

Р Jn

Для отыскания решения уравнения (1.10) должны быть заданы начальные и граничные условия. Одномерные движения могут осуществляться при течении жидкости в цилиндрических трубах (или вне их). Поэтому граничные условия записываются на контурах /к, получаемых сечением цилиндра плоскостью X - const:

vJl = U:Ai)- (Ml)

Здесь Ик(0-скорость точек контура. Начальные условия имеют вид

Vx\t=u = iy, г). (1.12)

Задача упрощается, если течение установившееся. В этом случае перепад давлений постоянен, и уравнение (1.10) сводится к уравнению Пуассона

Начальные условия отпадают, а граничные условия не зависят от времени:

Vx\t = UK. (I.I4)

В самом общем случае скорость \t, может зависеть от точек контура Vx 1/, = к( М).

Особый случай одномерного течения представляет безнапорное движение жидкости, когда = О, р = const. При этом вместо (1.10) имеем уравнение