Если движение установившееся, то скорость находится как решение уравнения Лапласа

удовлетворяющее граничным условиям (1.14).

Заметим, что задача (1.16), (1.14) ( к постоянны на контурах /к) эквивалентна задаче об отыскании функции тока в плоских течениях идеальной несжимаемой жидкости

Отсюда следует, в частности, что для решения задачи (1.16), (1.14) можно использовать метод конформных отображений. Йетрудно показать, что сила /к, действующая на контур /к в вязкой жидкости, выражается через циркуляцию Г соответствующего течения идеальной л<идкости. Действительно,

§ 2. ПРИМЕРЫ ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Будем рассматривать безнапорное одномерное течение вязкой жидкости. В этом случае скорость Vx удовлетворяет уравнению (1.15). Предположим, что жидкость заполняет все пространство и что Vx зависит только от 2 и /. Тогда скорость Vx{z, t) должна быть найдена как решение уравнения

= v v = - (2 1)

Легко проверить, что функция хр ~ при

любом а удовлетворяет уравнению (2.1). Это фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Так как

(2.1) -линейное однородное уравнение, то и сумма решений также будет решением этого уравнения.

Общее решение уравнения (2.1) определяется формулой

Введем в (2.2) новую переменную g = -j=-. Тогда равенство

(2.2) приобретет следующий вид:

u,(2, /)=-4-Г е-£Т(г+2С V)4- (2.3)

6 частности (если F непрерывна и ограничена), при / = 0 будем иметь

vAz,0)-F{z)\ e-id = F{z).

Следовательно, задавая в начальный момент распределение скорости

Vx\to = vAz, 0) = F{z), (2.4)

мы можем получить решение задачи (2.1), (2.4) по формуле (2.2) или (2.3).

Пример 1. Пусть в начальный момент в жидкости есть тангенциальный разрыв, т. е. при / = О

г Vq, z> О,

-<°> = И = 1- .,.<о.

Такое распределение скоростей соответствует вихревому слою. Решение (2.3) позволяет проследить сглаживание разрыва скоростей (рассеивание вихревого слоя). Действительно, подставляя (2.5) в (2.3), получим

2 Vv<

= =:l-?= (i75f) <->

где Ф{1)[е-Ч.

Из формулы (2.6) видно, что при t > О распределение ско-. ростей непрерывно, т. е. разрыв, который имел место при = О, постепенно сглаживается. При /->-оо и при любом гФО скорость Vx(z,t)0, причем VxVoj=-=г. Последняя фор-

мула определяет скорость затухания разрыва. При любом положительном tvx{0,i) = 0.

Пример 2. Пусть над плоскостью х = О находится неподвижная жидкость. При / = О плоскость внезапно получает скорость Uq вдоль оси X. Что будст происходить с жидкостью? Решение этой задачи легко построить из решения (2.6). Действительно, положим

Vxiz, 0 = .о(1 -ф())=.о(1 \Je-Vd{). (2.7)

Из предыдущего ясно, что функция (2.7) - решение уравнения (2.1) (поскольку Do и Ф Q j - решения этого уравнения).

кроме того, эта функция удовлетворяет граничным и начальным условиям. Действительно,

при г> О /->0, vAz, 0->0, при 2 = 0 />0, vJO, t) = Vo.

Возьмем теперь произвольное положительное z. В момент t = О скорость в точке с координатой z была равна нулю. Затем

скорость будет возрастать. Если /->оо, тоФ(-=->0и

\ 2 Vv/ /

Vx{z, t)-> Vo- Это означает, что плоскость постепенно увлекает за собой всю жидкость.

§ 3. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ

Пусть пространство между двумя параллельными плоскостями у = dzh заполнено вязкой жидкостью. Требуется отыскать все возможные одномерные установившиеся течения. Из физического смысла задачи следует, что течение плоское; примем, что Vx Не зависит от г: v = Vxiy). Уравнение (1.13) для нахождения скорости в этом случае примет вид

4¥=-4, (3.1)

р2 - Р

где 1г = -----заданная постоянная.

Ах Х2 - Х\

Решение уравнения (3.1) должно удовлетворять граничным условиям на стенках (условиям прилипания), а именно, если ti и 2 - скорости верхней и нижней стенок, то

Vx\y = h = b Vx\y-h = V2- (3.2)

Общее решение уравнения (3.1) имеет вид

xi + Ciy + C, (3.3)

где С\ и Сг - произвольные постоянные. Определяя С\ и Сг на основании граничных условий (3.2), получим для Vx формулу

= i It - + -т у + (3.4)

в случае, если движение безнапорное, т. е. имеем

линейное распределение скоростей

Vx = y+H. (3.5)