Отметим частные случаи течения.

а) Оба цилиндра вращаются с одинаковой угловой скоростью: 0)1 = 0)2 = ь). Для этого случая из (6.10) получаем

V = (i>r.

Вязкая жидкость вращается как твердое тело с той же угловой скоростью.

б) Жидкость заполняет безграничное пространство вне цилиндра Ri:Ri= R, (П1 = (x), R2 = оо, 0)2 = 0. В этом случае

v = Ri-.

в) Один из цилиндров неподвижен, например o)i = О, шг = Тогда

Rl R\Rl

V = --2 --2-2 -

R2 - R\ R2 1

§ 7. пример простейшего установившегося движения вязкой жидкости с переменной вязкостью

Рассмотрим задачу. Пусть плоскость у = 0 движется вдоль оси X с постоянной скоростью Vx = Vo- Жидкость, заполняющая полупространство у>0, имеет при у->оо скорость Vx = Vx. Коэффициент вязкости р зависит от £/: р = \i(y)- Массовые силы отсутствуют. Посмотрим, имеет ли такая задача решение, и если имеет, то при каких условиях? Очевидно, следует принять, что

Vx = Vx{y). Vy = Vz = Q. (7.1)

Выпишем систему уравнений движения сплошной среды в виде

divv = 0.

Для составляющих имеем равенство

lTiftl=- + 2pe,ft. (7.3)

При предположениях (7.1) достаточно рассмотреть только одно уравнение - проекцию уравнения движения на ось х, остальные три уравнения системы (7.2) удовлетворяются автоматически. Уравнение (7.2) в проекции на ось х дает

.(р) = 0. (7.4)

Из (7.4) имеем р- = С,. Отсюда

dy

v{y)

dy V* dy

Постоянные Cj и определяем из граничных условий

Vx \у=0 = Vo, Vx ls, = c = v. (7.6)

Из (7.5) и (7.6) получим

fo = C2, v = Ci\- + c2. о

Решение поставленной задачи имеет вид

-fir(+- <->

Jo fi(J/) °

Чтобы полученное решение имело смысл, надо, чтобы интеграл

S--r- был ограниченной величиной. Если [ . < оо, то о II (у) Jo iiy)

в полупространстве жидкость движется с распределением скоростей (7.7). Если интеграл расходится, то формула (7.7) дает для всех у: Vx = Vq - поставленная задача не имеет решения (например решения не будет, если ц{у) = ky + цо)-

ГЛАВА XX

ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

В этой главе рассматривается подобие течений вязкой жидкости, находящейся в поле силы тяжести, в предположении, что коэффициент вязкости р постоянен. Вопрос о подобии имеет значение и при рассмотрении теоретических вопросов, и особенно при экспериментальных исследованиях. В частности, нужно знать те условия, при выполнении которых результаты экспериментальных исследований над моделями можно переносить на реальные объекты.

§ 1. СХОДСТВЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ ТОЧКИ

Рассмотрим два течения вязкой жидкости с разными коэффициентами вязкости около двух геометрически подобных тел.

Пусть аи аг - характерные размеры первого и второго тел. Движение вязкой жидкости с коэффициентом вязкости vi около первого тела будем описывать с помощью переменных Xi, у\, zi, tl. Аналогично движение вязкой жидкости с коэффициентом вязкости V2 около второго тела будем описывать с помощью переменных Х2, У2, Z2, ti. Так как размерность коэффициента вязко-

сти [v] = -, то величина - имеет размерность времени:

г /.2 П

Т. Величины а\ и 2 определяют естественный линей

L V J

ный масщтаб в первой и второй задачах, величины ~

могут быть приняты соответственно за масштабы времени. Имея это в виду, введем безразмерные координаты и время для каждого течения с помощью соотношений

а, ai ai a/v,

Сходственными пространственно-временными точками для двух течений около геометрически подобных тел будем называть точки {xi,yi,Zi,ti), для которых безразмерные координаты и безразмерные времена одинаковы, т. е. точки, для которых

или, что то же самое,

Oj 02 Oj a, 02 a\

В безразмерных координатах рассматриваемые геометрически подобные тела будут иметь характерный размер, равный единице, и оба тела будут геометрически тождественны.