§ 2. ЗАПИСЬ УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ

Имеем систему уравнений вязкой жидкости dv

+ Vx

dv , dv , dv 1 J , A

+ + IF = e - 7 grad p + V ДV,

dvx dvy z dy dz

(2.1)

Предположим, что вектор g массовых сил постоянен в пространстве и времени. Обозначим через а характерный размер рассматриваемого течения (например, хорду или размах крыла) и введем вместо х, у, z, t безразмерные координаты и время по формулам

x=at у = ац. г = а1, t--Введем безразмерные функции

, что величины и, П, v бе

(2.2)

(2.3)

Нетрудно проверить, что величины и, П, v безразмерны, так как

Будем теперь рассматривать и, П, у как функции безразмерных переменных , ti, , т. Заменим в уравнениях (2.1) координаты х, у, Z на I, Т1, t и время / на т по формулам (2.2). Заменим в этих же уравнениях величины v, и g на и, П и у

по формулам (2.3). Сокращая на общий множитель-, из (2.1) получаем систему уравнений dn

У dr\

=Y-gradn + - +

, du , du

duy , а г

t dt,

c n di

(2.4)

где grad = l- + j-

Система (2.4)-система уравнений вязкой жидкости, записанная для безразмерных функций в безразмерных независимых переменных (безразмерная форма уравнений Навье - Стокса). Систему (2.4) можно записать в виде

= Y-gradn + Au,

dlvu = 0, (-

имея в виду, что операторы , А, div относятся к переменным I, Т), т.

§ 3. ПОДОБИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ

Два течения вязкой жидкости (первое и второе) будем называть подобными, если значения соответственных гидродинамических величин, вычисленные для сходственных пространственно-временных точек, отличаются лишь некоторыми постоянными множителями. Эти множители могут быть разными для различных гидродинамических величин (один для скорости, другой для давления).

Пусть имеем два течения около геометрически подобных тел. Пусть они характеризуются величинами

аи V gu v< , f.

2, V2, g2. V<2, -g-.

(3.1)

Для каждого из этих движений можем выписать безразмерную систему уравнений

. + + = V, - grad П, +

2) 2(0

+ - + = 0.

Решения систем (3.2), если иметь в виду внешние задачи об обтекании тел, должны удовлетворять условиям прилипания на границах Si обтекаемых тел (5i - поверхность тела с характерным размером, равным единице) и условиям на бесконечности

u ls.-0, и()и = и( . (3.3)

Так как безразмерные искомые величины и и П,- отличаются от размерных искомых величин постоянными множителями, то для подобия движений достаточно, чтобы в сходственных пространственно-временных точках имели место равенства

u(i) = u(2>, П, = П2. (3.4)

Так как краевая задача об отыскании величин и** и ставится для одинаковых областей, для которых характерный размер равен единице, при одинаковых условиях на границе обтекаемых тел и = 0, для выполнения (3.4) достаточно, чтобы:

1) уравнения (3.2) для течения 1 (i = 1) и для течения 2 (i = 2) совпадали;

2) условия на бесконечности были одинаковы, т. е.

11(1)1 12)

1оо

(3.5)

ибо тогда обе краевые задачи будут тождественны. Для совпадения уравнений необходимо, чтобы

Yi = Y2, (3.6)

что с учетом (2.3) дает следующее равенство:

(3.7)

Условия (3.5), записанные в размерных величинах, приводят к соотношению

= (3.8)

Равенства (3.7) и (3.8) и являются условиями, достаточными для подобия течений. Как видно, они носят векторный характер. Из этого следует, что для выполнения (3.7) необходимо, чтобы векторы gl и g2 были параллельны: gi g2; для выполнения (3.8)- чтобы были параллельны скорости на бесконечности: vi v. Если считать, что эти условия параллельности выполнены, то из (3.7) и (3.8) получаем

(3,9,

VI V2

Если (3.9) возвести в квадрат и разделить на (3.10), то будем иметь

Условия (3.9), (3.11) эквивалентны условиям (3.9), (3.10). Безразмерную величину Re = - называют числом Рей-

нольдса, безразмерную величину Ег = - называют числом Фруда.

Таким образом, два установившихся течения около геометрически подобных тел будут подобны, если выполнены следующие четыре условия:

1) v(J.>v<, 3) Re(> = Re(2),

2)g,llg2, 4) Fr( = Fr(2), (

(3.11)